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根号72等于多少 根号72等于多少
方程,复数,时候根号72等于多少 根号72等于多少
发布时间：2020-12-06加入收藏来源：互联网点击：
知道这样一个矢量和这样一个标量，它们俩的相加、乘积就引出了这个乘积的表达式：这就是两个矢量的点乘、叉乘，这就是我们读研究生、读大学的时候电动力学里面的点乘、叉乘的概念。当年我学这个东西是学的一头雾水，而且重要的是不管是在我们的中文课本里面还是西方语言的课本里面，关于矢量这个概念基本定义都是错的。我们汉语的矢就是弓箭，就先天地以为说它像弓箭一样是个有长度、有方向、有箭头的一个量。错，矢量这个意思本身叫vector，叫承载、叫疏运，就是我们雷达车或者如果一条狗，狗身上带跳蚤的那条狗就就叫vector，叫做承载者、携带者。这个vector本身只要满足这种线的加法和乘法它就叫vector，它可以有长度、有方向，但是它不必须要有长度和有方向，这是重要的。这就是为什么我们，尤其是我当年学电动力学的时候看的那些点乘、叉乘乱七八糟的那一堆公式，老师也不懂，然后我们大家就跟着背，背了过两天又忘了，为什么？就是因为我们根本不知道标量和矢量是四元数两部分，就是满足四元数的加法和乘法。只要知道四元数的乘法，所有这些公式都是自然而然的，根本不需要背。
这就带出来一个很重要的现象，到底是怎么造出这个现象的，就是电动力学书。大家回忆一下电动力学书，国内用的是郭硕鸿先生的，美国著名的是杰克逊的经典电动力学，它们后面都有两页点乘叉乘这种公式，大家看这个公式记起来是不是特吓人。当年我记这东西也记不住，我考试也不及格，我现在突然想明白一个问题，大家想象一下，一本书后面为什么要列两页公式？那什么意思呢？意思是说它根本没有指望你会，对不对，这本书后面列了两页公式就是让你查的。让你查的意思就是你是不会的，而且你学完我这个课你还是不会。
可是我们的学生中间有优秀的学生，几年前我在武汉大学做讲座的时候，做完讲座我要到机场，结果有一个男孩子一拉车门坐进来的时候说老师我送你去机场，我和你聊几句。这个学生是哈尔滨人，大二的学生，他就问出了如下这样的一句话。说曹老师我读了杰克逊经典电动力学，我觉得他有问题，但是我不知道是什么问题，你告诉我是什么问题。那我告诉他什么问题呢，就是因为关于这个地方的问题，这一个把标量和矢量分割开来是一个热力学统计物理的奠基人吉布斯，是个美国人。当年到欧洲留学，回来把这两部分给砍断成两截，然后又因为美国后来成为世界科学的中心，流毒甚广，造成一个错误。而且我们大家一定要知道，电动力学要点是讲电流怎么产生电力、产生磁场，所以它研究的是电流，但是电流是线。所以说研究电磁学，研究电流的学问一定要用线的代数，这个词儿叫Linear algebra，我们汉语把它翻译成线代数，是我们的中国理工科大学都要学的。而这个翻译是完全错误的，因为从线代数你不知道它是干嘛的。它不是线代数，它是线的代数。就是说是点的代数到线的代数，到面的代数，这是一个几何的东西。它的几何这个线的代数的数学就是后面的四元数和后面发展的Clifford代数。你把代数弄对了，学问就弄对了。
这也是又回到回答刚才主持人的问题，就是我为什么去讲这些问题呢？就是因为这些都是我当年学过的，受了很多委屈，我现在发现不是我当年不好好学，是因为那书也不对，那老师也不会。
现在我们回到四元数的表示，我们看四元数是可以表示成2×2的矩阵的。我们刚才说了复数可以表现成2×2矩阵，四元数也可以表现为2×2矩阵，但是它的每个矩阵元是复数，是a+ib、a-ib这种形式。这是一个2×2的复数矩阵，它里面有几个数呢，abcd四个独立的数，所以我可以把这样一个2×2的矩阵当成一个矢量，它有四个方向的基矢量。这（第一个）基矢量这是单位基矢量不提，这后面这三个基矢量是什么东西？实际上就是我们上大学时候学的Pauli矩阵，量子力学的泡利矩阵。当年我学量子力学的时候就觉得泡利好聪明，他怎么得出这个矩阵。现在我明白了是人家小时候上的课课本里面有，不是泡利发明的、多聪明的，他小时候学的课本里面就有。
而且我在不同的地方给大家讲过了，泡利上中学的时候有多滋润呢？是因为他爸爸上大学的时候同班同学遇上个大神叫做马赫，他爸爸同学马赫不是大神，但是马赫的爸爸，恩斯特马赫，是数学家、物理学家、哲学家，是大神。当然请大家记住，一个天才一定要长的好看，讨人喜欢，这个泡利就长的特别讨人喜欢，就深受他爸爸的同学的爸爸，恩斯特马赫大神的喜爱。所以这个爷爷级的大神恩斯特马赫能愿意做他的Godfather，做他的干爸。他小时候这位大神指导他，就说最顶级的爱因斯坦想攀都攀不上的大神，恩斯特辅导他。
等到泡利上中学的时候，马赫说岁数大了，我辅导不了你。结果怎么着呢？从维也纳大学派了一个数学教授维特厄，就是我们上大学学量子场论里有对x和对z的共轭求微分的那个表达式的那个维特厄，去辅导他的初中数学；从维也纳大学又派一个理论物理讲师辅导泡利的物理，这也就是为什么泡利高中毕业进入到慕尼黑大学的时候，慕尼黑大学物理大神索末菲说我可没有啥教你的了，你的水平太高了，就是这个道理。所以说教育这个问题如何提高老师的素质，如何让全社会里面特别有学问的人抽着空利用吃饭时间，或者利用旅游时间多给孩子讲讲课这点太重要了，一定要请大神。这就是四元数。
接下来如果你把四元数每个虚部写成两个泡利矩阵的积，那么你可以把四元数表达成这个形式：q=a+bσ3σ2+cσ1σ3+dσ2σ1，这就是bi+cj+zk的问题，i就对应了两个泡利矩阵的乘积，也就是说这告诉我们i和j和k它不是一个线方向的东西，它是个面的东西。
又回到刚才我们说的，我们学代数要学点的代数、线的代数、和面的代数，四元数是面的代数，所以说ijk是面的方向，这个ijk本身构成三维空间的矢量，但他们本身是面的量。这一点我今天竟然遇到一个人，他说他中学的时候老师教右手定则就是ijk乘法右手定则，他觉得别扭了。我再说一句，就是如果你上中学的时候老师教你右手定则你没有觉得哪别扭，那大概你学物理数学就学不出来了，就是那里面明明有问题，你感觉不着，有人是有感觉的。
那么四元数还能表达什么呢？四元数可以表达4*4实矩阵，abcd都是实矩阵。这种4*4的矩阵，因为又四个独立的数，我也可以当他是四维的矢量，它的基矢量是这四个矩阵：
你看这四个矩阵想到什么了？这就是我们量子力学的“狄拉克矩阵”，狄拉克矩阵可以由泡利矩阵构造。有人就说狄拉克矩阵是从泡利矩阵里构造的。狄拉克说不对，那是我自己构造的，其实他们俩谁不是自己构造的，都是原来有的。你只要读哈密顿的书，哈密顿的四元数入门里面都有。
所以到这个时候我特别想说一句感慨，就是我们学物理，尤其是学理论物理为什么感到困难，就是因为我们在开始学之前不知道它所需要的数学，学了之后也不知道人家需要这些数学。所以如果你没学过这些数学，学这些内容就觉得人家好神奇啊，太厉害了。如果你要学过这些数学，你就觉得好自然，它本来就应该是这样子。这就告诉我们大家，学物理一定要有一个习惯，既然选择了学物理，就一定要好好学数学，因为数学是物理的语言。你如果是学物理，不去数学，你会花很多的功夫还不明白，都苦了。
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