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根号72等于多少 根号72等于多少
方程,复数,时候根号72等于多少 根号72等于多少
发布时间:2020-12-06加入收藏来源:互联网点击:
那么我们看四元数有什么用,就刚才还是四元数完全平方的问题。就很简单地,就能证明四个整数的平方和和另外四个整数的平方和的乘积还是四个整数的平方和。这是大神欧拉1748年不知道怎么算出来的,可是你用四元数乘积特别简单就能算出来了。我给大家举一个例子,同学们记住这个例子,回去吓唬不会的同学:(1+2+3+4)(2+3+4+5),你很轻松地就可以用四元数乘法,就能算出来等于36+6+12+12。就是一个简单的算式。但是你从数论的角度,想得出这个结果,那你就累了,只有大神能干出来。
欧拉大神厉害到什么程度呢,我请大家记住,他晚年已经是瞎了,已经完全看不见了,但是他还差不多保持着三天一篇论文的记录。而且最重要的是欧拉现在去世已经230多年了,他的论文整理还没做完呢,想象一下他做出多少成就。所以说,这个地方又是我以前的一个感慨,如果用数论证明特别难,用四元数算的话特别简单,就是一个例题。我特别想说一句,你的累累活,如果不掌握方法,不过是别人的轻描淡写。尤其是前两天有人算算自己一年挣的钱,再比较一下别人的罚款,说从老祖宗是猴子的时候算,我挣钱都没有人家挣的多。不对,单位时间挣的钱数不对,这就是跟这个一样,层次不对。你如果把它限制在数论层面,这个问题就是个顶天的难题;算成四元数,这就是一个习题。
那么四元数有什么威力呢?四元数的威力可大了,因为四元数有个很重要的质,就是qq不等于qq,也就是说四元数乘积顺序不能颠倒。不能颠倒意味着什么呢?你会发现日常生活里面许多东西是不能颠倒的。比如说早晨起来你是先洗脸还是先刷牙,你发现这个问题好像不太重要,先洗脸后刷牙,或者先刷牙后洗脸都没关系。但是穿鞋与穿袜子好像这个顺序就不能倒,先穿袜子后穿鞋还是先穿鞋后穿袜子,好像这不行。也就是说我们的自然里面是有这种前后顺序不能颠倒的物理过程,如果前后顺序不能颠倒的过程正好有了前后乘法不能颠倒的数,你就知道这个数可能就是描述这个物理。比方说转动,前后不能颠倒,四元数就乘法不能颠倒,于是乎你突然认识到,四元数本身是可以用来描述乘法的。而且而这个乘法不是a*b,是先乘一下,然后再还要倒回头的这种乘法,而且最重要的意思是你绕着一个方向转出θ角的时候,对应着是相当于用的是角度为φ的四元数乘积结果。相当于这个矢量,绕着它矢量的这个方向转φ/2角。然后突然你会发现量子力学关于电子自旋的1/2是哪里来的你突然就知道了。
当年我们学这些东西的时候看日本人J.J.Sakurai的量子力学去描述这个转动。哎,我都神奇了,我就不懂。我读理论力学的时候,理论力学人用欧拉角描述转动,然后我就一步一步跟,我也跟不会,当时我就直觉觉得它一定是错的。当然我们那时候老师不理你,你要是认为他错了,你题没作对,反正给你不及格。但是多年之后我终于发现它确实是错的,欧拉角描述这个转动,一不能构成群,二不唯一。所以,欧拉角描述三维转动,有工程上能用,但是它不构成学问,而三维转动要用四元数来描述。就是我现在觉得特别有种冲动要找当年的老师再找几分回来,真的不是我不会,是我竟然能认识到那个学问是错的。
这个地方感慨的是从前的欧拉转动定律的证明特别繁杂,但是用四元数就是简单的乘积。这个地方我的感悟是一个问题为什么复杂,它是由于你看问题的层面低才复杂的,比方说像我这样的科学家做一个课题,需要百八十万块钱的时候这就是一个特别复杂一个了不起的事情,可是从国家科技布局的科技问题,你那一百万算什么钱呀。对吧,你把层面放的足够高的时候,问题就简单了,就没那么复杂。这一点其实是非常重要的一个问题。
OK,现在我们看四元数作为乘法的问题,我刚才已经提了,格拉斯曼在1844年的这本扩展的学问里已经提供了16种乘法,而同学们你们其实在小学的时候就应该注意到两种不同的乘法。比如说3×4,这就是简单的两个数的乘,可是一个篮子里有3个苹果,2个篮子里面有6个苹果,2×3,前边的“2”就是算符,而不是两个苹果。就后边的3是3个苹果,前边的2是加倍,是操作,是多方一篮子在这儿,它是个动作。你看这些乘法我们小学老师都不跟我们讲,所以说乘法这个事情,有各种各样的乘法,有2×3=6,也有2m×3m等于6m,也有两个矢量乘法等于点乘+叉乘的方法,也有v’=qvq这种先做q的逆乘上它再乘以它的乘法,这叫共轭的乘法。也就是说世界上乘法有很多很多种,目前为止基本上许多人一辈子乘法就学到这儿(带单位的乘法),许多人学物理的人乘法都没学到这儿(矢量乘法),在这儿说什么能量、物质,其实就是不懂这个公式。懂这个公式,就没那么事情了。
这就说明什么呢?这就说明乘法这个东西,前边的东西叫算符,后边被乘的东西叫乘法的对象,乘法的对象要发明的,要找着的。我们看复数的乘法,复数乘上复数还等于一个复数,复数乘上一个这样二阶的列,还等于二阶的列,这个二阶的列和复数是可以等价的,所以当年我们做2×2的矩阵,实数矩阵这么乘的时候,好像觉得这俩不是一回事,但是也没觉得怎么不是一回事,因为它(矩阵(x,-y;y,x))与它(二阶列(x,y))可以等价,所以就没觉得有什么事情。可是当我们用四元数乘积的时候突然事情就不对了,因为四元数乘以一个四元数等于一个四元数,四元数乘以两个分量的两阶的东西等于两个两阶的东西,但是这个东西和四元数是不相等的,也就是说这冒出一个崭新的对象,被四元数乘的这个东西有个崭新的对象。这个崭新的对象就是去年得诺贝尔奖的这位大神,特别善于玩的东西叫旋量。也就是我们有四元数之后,近60年之后才找到四元数乘法的对象,叫spinor,叫旋量,花了60年的时间。这个东西就是描述转动,描述粒子自旋质的数学。我当年学量子力学就被他们说,这是一个多么多么了不得的东西,是量子力学的神奇的东西,其实不对,就是简单的数学。
1843年10月16日,就发明了四元数,我们的哈密顿告诉了他的朋友格莱乌斯,格莱乌斯两个月之后就发明了八元数。八元数就是一个实部加上7个虚部,八元数表达方式有多少种可能呢,有480种可能。480种可能太复杂今天就不提了,但我提醒大家一句:八元数不仅他俩乘积的顺序不能颠倒,而且是三个数相乘的顺序,不是先后顺序而是先干哪两个乘法,这个顺序也没有。也就是说我们小学乘法的那个叫乘法的结合率,也不存在了。现在就回到一个问题,我们小时候学算术,不就学123456这种算数吗。老师在教我们说乘法有交换率,有分配律,你们没觉得哪儿奇怪吗?这种东西都知道2×3=3×2,2×3×4,先做2×3,还是先做3×4是一样的,你老是说乘法交换律、分配律干嘛,没必要啊。为什么呢?就是因为真实的数学不是这样的,真实的数学是当我们发明了八元数,我们想干成十六元数根本干不着的时候,我们才总结乘法是有这种交换律、分配律,并且到八元数的时候交换律违背完了,分配律也违背完了,往下你没路可走了,所以再也没有了。所以说这个世界上,只有一元数、二元数、四元数、八元数,四种情形,这叫做Hurwitz定理,这个地方我们不说四元数,我们说乘法的交换律与分配律。
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