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根号72等于多少 根号72等于多少

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发布时间：2020-12-06加入收藏来源：互联网点击：

那么第二个复数有什么用呢？就是用来证明几何，我们都知道比方说这是一个三角形，从每个顶点到对面中点画这三条中线，然后交一点，这就叫做重心。重心等于什么呢？几何证明可费劲了，但如果用复数表示三个顶点位置的话，重心就等于三个顶点复数的算术平均，(za+zb+zc)/3就完了，哪有那么多事，然后用复数去表达线之间是平行的、垂直的，那就是实部虚部那一乘，到底等不等于0的问题，就特别简单。

知道我们用复数去做几何，将来同学们如果是敏感的话，你就知道天底下将来一定存在一个学问就叫几何代数。学会几何代数那物理表达就更简单了，当然了，你们也一定知道将来还有一个学问反过来叫做代数几何。

复数的用途太多了，有了复数接下来会有复分析、复几何，等等，各种变换，都是用复数。我们在电磁学里面用复数的时候还是羞答答的，是当做辅助工具，去帮助求积分。而等到量子力学里面用复数就是赤裸裸的，因为学量子力学上来波函数一定是复数，量子力学的语言里面一定用复数。甚至复数不过瘾，待会还有旋量，旋量很多人就不懂了。相对论表达有人误以为是复数，不对，那是一个简化，是约化了的四元数甚至是双四元数，如果你懂这些数的时候再看相对论就会发现数学好简单。

这个地方我还提醒大家一句，就是关于复数将来会引入旋量，我读过许多量子力学的书里面都会说描述电子这样自旋1/2粒子用到的数学有多么神奇等等，是量子力学的神奇。直到有一天我发现我被他们骗了，在量子力学诞生之前，所有这些描述自旋1/2粒子的数学都发明出来了，只是你不知道而已。你不知道就在那儿糊弄别人，告诉他这个东西多神奇，量子世界多么难以理解，其实那数学早就有了。关于量子力学表达的虚张声势是由这些人不知道数学造成的，那个东西数学早就有，而且特简单。

四元数的引入

接下来故事就有意思了，我们说复数能够表示我们二维平面里面的转动，转动特别好玩，这个复数a±ib就是实数3±1，5±2的一个扩展。这种3±1=（2，4）在一条直线上，a±ib变成平面的扩展，立马就有人说一件事情：不对，我们生活的空间不是二维的，我们生活的空间是三维的，所以如果有一个数能够跟它描述二维空间里面的物理似的，能描述三维空间的物理那多爽呀。所以这就有人想把a±ib这样一个描述二维的数给表示成描述三维的数，这个事儿是谁干的？就是刚才我提到的那个哈密顿，哈密顿想：这样一个数什么复数不复数的，它就是一对数而已，只要它的加法和乘法弄对了，你写成什么样都无所谓，所以请大家记住形式不是重要的，重要的是它的算法，它的加法和乘法是什么样子决定什么叫复数，而不是你把它写成什么样子。

既然需要一个这样描述三维空间世界的，那我就去发明一个能够描述三维空间转动的代数三重数，(a,b,c)这样的数，我只要找出它的算法，能够表示成三维空间里面的事情不好吗？当然好了，所以这位老先生就开始忙这件事情。刚才我提到这个人的姓名是世界最重要的名字，每一秒钟都有人在输入，我给大家讲一句他的故事这个人有多厉害呢，这个人是他叔叔带大的，叔叔是中学老师，3岁的时候跟他叔叔。叔叔就开始教外语，学了十年，3-13岁学的都是外语，学完了从他老家爱尔兰经过整个欧洲，经过小亚细亚，经过波斯、印度，这一路上所有的语言都学完了。从3-13岁学完了从爱尔兰经过整个欧洲，经小亚细亚、欧洲、波斯的范围，甚至他还会点马来语，就已经学完了。21岁大学没毕业的时候就被聘为了教授和天文台台长。

我们现在中国学霸这个词儿特别泛滥，请大家对照一下看谁还好意思管自己叫学霸？而且到这一点的时候我特别提醒一句我们的外语学习的问题，我们从幼儿园许多家长就急哄哄地送孩子学英语，结果到博士了还有考博士英语，也就是说为了考英语许多人就能考20多年，这是一个特别浪费时间的事情，不带这么玩儿的。好好想想怎么学习外语的事儿，有空咱们再聊这个事情，今天咱们先聊怎么学数学。

哈密顿现在要发展出三元数，(a,b,c)这样的三元数，能够表示我们三维空间的物理。那么怎么发展三原数呢？当然简单了，二元数是a+bi，他现在说a+bi后面再+cj；i的平方等于-1，那我要求j平方也等于-1不就完了吗？加法当然没有问题了，我们来看乘法：a+bi-cj如果乘以自己的话，等于没有i项的、有i的项、有j的项，结果出现ij+ji的这一项，这个东西怎么办？他发现如果你要求ij等于0，或者要求ij等于负的ji的话，这项都能抹掉。这一个问题解决了，但是他发现如果这是两个相同的三元数乘积，如果你要算任意两个三元数乘积，或者任意两个三元数模平方乘积的话，它麻烦了。因为什么呢，他发现这样构造的三元数乘积结果永远是四项，就永远多出一项，这个东西不好玩了，所以这个问题他就老解决不了。

老解决不了大家看出现了一个什么事情？哈密顿从1830年，25岁的时候开始考虑这个问题，结果考虑一段时间放下了，过两天又拿起来，拿起来没有搞定又放下，结果一使劲就考虑了13年，这个问题还没有解决。因为他13岁离开，学完那么多外语，21岁没毕业就是大学教授，30岁封的爵士，所以他的名气太大了，名气太大就会招天下的英才上门讨教。结果在1843年夏天的时候有一个19岁的德国人Eisenstein来拜访他，到英国来看哈密顿，双方进行了亲切友好的谈话，这个谈话没有谈多久把哈密顿吓一跳。哈密顿说这个德国小伙子太聪明了，数学知道太多了，如果我要不赶紧把刚才这13年的事儿干出来的话，估计这个新代数就会被这个德国年轻人先干出来。他说先把别的工作放下来，专心做这件事情，这是6月份的事情。

1843年10月16号这天下午，哈密顿和他的夫人在沿着爱尔兰运河去开会的路上突然灵光一现，说既然两个三元数乘积永远等于四项，13年没解决这问题，那从一开始就是四项不就完了吗？大家看到没有，这就是一层窗户纸的事情，他能够琢磨13年没有琢磨清楚。老是三项乘积等于四项，那一开始四项不就完了嘛，所以这个数一开始就是a+bi+cj+dk这样一个四元数。这个ijk平方都等于-1，就像原来的i一样。然后它的乘法就是ij=k，jk=i，ki=j，这不就完了吗。所以这位老兄当时想出来了，特别激动，又生怕待会忘了，就从地上摸出一块石头，赶紧把这个公式刻在他路过的那个桥上，生怕忘了，接着去开会去，会上就告诉他科学院的同事们说我刚才想到了这个问题，下周来给大家报告。这座桥就是爱尔兰的Broome桥，世界上最重要的科普基地，因为这座桥上就刻着重要的公式“i=j=k=ijk=-1”，这是人类史上最重要的，因为1843年10月16号下午，这都是有点的这样一个创造。

这个创造出来以后就很有意思了，这个四元数乘上四元数还等于四元数，四元数乘出来虽然都还是四元数，大家看到没有，表达式特别复杂，既然表达那么复杂那么长，那么麻烦，这就是一种危机。这是我们常说的一句话，危机意味着机会，对不对。因为乘法太长了以后，逼的这个人不得不对这样一个表达式做简化，要提出新概念，要把四元数表示成两个部分的和q=r+v，前面这个东西他管它叫做标量，后面三个加在一起他管它叫矢量。也就是说我们今天在数学在物理里面学了那么长时间矢量标量，我们一头雾水的东西，其实是四元数的两部分。

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