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根号72等于多少 根号72等于多少

方程,复数,时候根号72等于多少 根号72等于多少

发布时间：2020-12-06加入收藏来源：互联网点击：

那这让我想起什么呢？√-1这种存在，可能和上下运动有关系。这个就触到知识盲区了。那么有没有这回事呢？你会发现同时有很多人注意到这一点。谁呢？我刚才提到了1832年还陨落了一个大神叫萨迪·卡诺，Sadi Carnot。萨迪卡诺不仅厉害，他们家族将来会出现一个姓庞加莱的。大家不理解为什么卡诺家族会出现一个姓庞加莱的。这是一个据说人类历史上唯一一个什么数学物理都会的。大家知道三体吧，三体就是他（庞加莱）的文章里来的概念，我们不提。将来他的一个侄子是法兰西的总统，卡诺的一个侄子也是法兰西的总统，这一家人太厉害了。那么热力学创始人萨迪卡诺他爹，老卡诺，当年竟然出了一个几何题：说这有一个线段a，在线段上找一点，把这个线段截成两截，这两截乘积等于线段平方的一半。也就是说，我把它写成方程的话就是x(a-x)=a/2，但是这个一元二次方程大家都会解了，解等于a/2+(±ai/2)。ai/2说明这个点就不在这条线上。另外一个法国人比埃就解释，说这就可能意味着这代表这个点不在这根线上，在旁边。a/2±ai/2，就是这个半截到这儿（线段中点）的距离，再往上这么多距离在这个点（X点），这一点（X点）到这一点（线段一端）的距离乘上这一点（X点）到这一点（线段另一端）的距离，就等于这个a/2。当然这是直角三角形，大家用几何做法一定就懂这个道理是怎么回事儿。也就是说，现在我们突然认识到ai/2这个东西，它不在你这一条线上，它是在旁边。是个几何意义。

这是数学史上真实发生的事情，没想到有一天我会在我们的日常生活里也注意到这个事情。我的一位朋友带着他的小女儿，我们知道小孩子嘛，有时候弄不清楚方向，所以这个妈妈就故意训练她。年轻的妈妈就问：你现在在我的左边还是右边？小女孩想了半天，特聪明地来了一句“旁边”。左边、右边这是一个一维的概念；当这个小孩子回答说在旁边的时候，大家知道旁边是什么，饶你一圈的时候，这个回答是对的。这突然告诉我们这是一个从一维空间到二维空间扩展的问题，也就是说复数是一个从一维存在的数，转到二维存在的数。它天然地就可以用来表示二维空间里面的东西。这个例子也告诉我们大家，看见没有，就是数学史上存在真实发生的事情，在今天依然发生在我们的日常生活里面。所以说我希望大家能记住这个故事的时候，就千万别再误以为那些高深数学有多么难，那些高深的数学和我们的生活它的联系可能就是很紧密的，而仅仅是你不知道而已。

这时候在欧洲挪威有一个工程师韦塞尔Wessel，注意到了复数是可以表述成有方向的线段，其实就是“极坐标”。极坐标在我们中国的古诗里面早就有，极坐标的出现有2000多年了，而笛卡尔坐标，即直角坐标是1600多年出现的，请大家一定要记住。所以在我学数学的过程当中，我误认为极坐标出现的晚，不对，极坐标是最自然的东西。大家记得我们中小学念的诗词：西北望长安，可怜无数山。它指的就是方向+距离。极坐标是特别特别自然的，西北望长安，可怜无数山；方位角+距离。

这位韦塞尔是一个工程师，他就认识到用复数就可以表示成平面上的一点。这样的话从原点出发就是线段。复数如果表示有方向的线段，突然发现特别有用。大家知道三个线段组成一个三角形是什么条件呢？你看，用复数代表这样一个有方向的线的话，突然就是这么简单的事情，就是：

也就是说如果这就是原点的话，有方向的线段加上有方向的线段加上有方向的线段，回到原点，这就是三角形。这就是一个三角形的一个不依赖于坐标系的表达，你看这就是所谓的最高深的数学，其实很早很早就有。这个地方我又要提醒大家一句，关于三角形我们上初中就学了，许多人肯定误以为三角形已经早会了。我提醒大家一句，关于三角形的内容太多了，我们在中学教过重心、教过垂心、外心，大家就误认为三角形可能就只有这几个心，我告诉大家三角形里面几何的心最少两万种，你才学三四种，才哪跟哪呢。那许多人肯定不服气，说曹老师你又骗我，说三角形就是画三条边，怎么会有那么多内容呢？你肯定骗人嘛，哪有那么复杂？你看不出这么复杂，是因为你看的角度不对，因为你是从这一点出发，画一条线闭合了，说这个就叫三角形，你觉得没有什么复杂的地方。但是反过来想，假设是这三个随机的线段，随便撒到这个平面上，或者撒到一个空间里，这三个线段碰巧凑成了一个三角形，请问这个条件有多么地难。那么如果你从这个角度来说，突然认识到一个特别难能够达成的事情，它里面一定有特别多的内容。从这个角度你就能明白三角形里面的几何，可不是你我三天两天能学完的。

现在我们就能理解了，这个复数是一个有方向的线，复数相乘就是这个方向夹角的相加。我们突然发现bi代表的东西如果是平方是负的，大家知道一个线段如果变成负的就是转180度，所以bi*bi=-b，相当于b转动了180度。转两次是180度，那bi转一次就是转90度。也就是说，如果你用实数表示水平方向的话，那么bi一定表示的是垂直方向，这就告诉我们复数表达的一个平面，就是一个笛卡尔坐标所表征的平面。这个地方我要提醒许多学理论物理的人，为什么我们的复平面和平面不是一回事，因为复平面只能用直角坐标，i代表的是90度的偏转；而一般平面是可以任意两个方向，只要它俩不重合，就能够表征这个平面，这是平面与复平面之间还是有细微差别的地方。

现在我们来表达复数，复数有多少种表达呢？我们刚才已经学了x+iy；第二种就是极坐标表达，就是说距离和方位角的表达；第三种我们将来会学，有这种rcosθ+irsinθ的表达；第四种就是这种一个模乘上一个相位角eiθ，这个θ就叫phase，相因子，这个就是我们将来通向规范场论的地方。那么还有没有别的表示呢？有，比方说我们可以把a+ib表示成这样的2*2矩阵(a,-b;b,a)，这个对角线都是a，这两边的b是-b与b。这样的矩阵的加法和乘法就是复数的加法与乘法。那还有没有表达式或表达矩阵呢？有，有很多，比方说将来你学四元数的时候，可以用四元数来表达复数。哎你不是说四元数比复数更复杂吗，怎么用更复杂的来表达简单的呢？这个地方又牵扯到一个哲学的东西，就是如果我们要用复杂的东西表达简单的的东西，这是一种复杂向简单的回归，或者告诉你简单里面也会内置复杂，有一天你要能学会从高观点下去看简单的问题，你才能看出它的不简单之处。回到比方说刚才的三角形，如果你学的就是在黑板上从一点出发画一个三角形，你永远想象不到它里面有多少内容，但是如果你从高观点，从高维空间说随机的线段它们碰巧粘在一起能够构成三角形的时候，你就能明白它里面包含了多深刻的内容。这也是俄罗斯有一套教材，关于数学物理教材，叫做高观点下有效的xx东西，请家长关注一下这套东西，学会从高观点下去看问题。

那么我们既然学了复数，复数有什么用？复数的用处太多了，比方说数论里面有一个说法，叫做任意两平方和的乘积必定是两整数的平方和，如果你从数论角度证明的话，这个可难证明了。但是如果用复数的乘法，就是复数乘复数等于复数，复数取模就是平方和，那就等于平方和，这是一个算法，算数，特别简单。举个例子，比方说(2+5i)×(4+3i)=-7+26i，这个意思是(2+5)x(4+3)，一定等于72+262，特简单，算就完了，有什么好证明的？大家看到没有，高观点下看问题就能够看出它的简单，也可以看出它的不简单。

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