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我们知道根号2是无限不循环小数，是怎样得到这个结论的，请赐教？

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发布时间：2016-12-08加入收藏来源：互联网点击：

史上第一个闯入人类数学世界中的无理数：根号2

传说，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现。他发现了一个事实：若正方形的边长为1，则正方形对角线的长不是一个有理数。这与毕达哥拉斯学派的“万物皆数”（指有理数）的哲理大相径庭。而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。后来希伯索斯将无理数透露给外人，触犯学派章程，将动摇他们在学术界的地位，因而希伯索斯被处死。

毕氏弟子的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明它不能同连续的无限直线同等看待，有理数并没有布满数轴上的点。在数轴上存在着不能用有理数表示的区域。无理数的发现对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验转向依靠证明，推动了公理几何学与逻辑学的发展。

无理数的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不到正确的解释。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪下半叶。1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。

如何证明根号2是无限不循环小数

最早的计算方法是这样的，我们一个数位一个数位地来不断接近它。首先，我们知道1<2<4，所以1<√2<2，这就确定了第一位1。然后我们依次计算(1.1)²、(1.2)²、(1.3)²，得到(1.4)²=1.96<2，(1.5)²=2.25>2，我们又得到√2是介于1.4和1.5之间的数，这第二位4也就确定了。用这种笨办法，我们可以一位接一位永远算下去。经计算这个数为1.4142135623731……然而,这个数,它却具有“无限且不循环”的性质!

随着数学的不断发展，人们发明了各种方法来计算√2的数值，其中最简洁的表达是这个无穷无尽的

我们来从求知的角度来证明下根号2（√2）为什么是无理数？

方法1：尾数证明法：

假设根号2是一个有理数，那么根号2就可以使用a/b的形式来标识，其中(a,b)=1,(表示a 与 b 最大的公因数是1）,a和b都是正整数，明确了这些条件，我们就开始证明了。

第1步：√2=a/b 那么可以得到a*a=2*b*b

第2步：从数的平方我们可以很快得到，b*b的尾数范围是 (0,1,4,5,6,9)中的一个数，不可能是2,3,7,8，这个道理不难理解；

第3步：2*b*b的尾数范围是（0,2,8）中的一个数，

第4步：因为a*a=2*b*b,那么a*a的尾数范围可以排除2和8，只有0

第5步：因为2*b*b得到的值肯定是一个偶数，那么b*b的尾数范围是(0,5)

第6步：按照目前的尾数可选项，a和b存在公因数5，和(a,b)=1是相矛盾的。

所以根号2是一个无理数。

方法2：奇偶分析法

所以根号2是一个无理数，可以说明的是希帕索斯就是用这种方法证明的。

还有很多种方法补充，差不多有8种左右，我就不一一罗列了。

如何计算根号2的值呢，查找了不少资料，我觉得这几种方法还是能消化的。

方法1：

（√2+1）（√2-1）=1，这是我们参考的一个基准，可以按照这种方式不断的展开。

√2-1=1/（√2+1）

√2 = 1+ 1/（√2+1）,继续带入根号2的对等公式

√2 = 1+ 1/（1+ 1/（√2+1）+1）=1+ 1/（2+ 1/（√2+1））

继续推导：

√2=1+ 1/（2+ 1/（√2+1））=1+ 1/（2+ 1/（1+ 1/（√2+1）+1））=1+ 1/（2+ 1/（2+ 1/（√2+1）））

这种方式叫做连分数法，我们可以通过这种不断的迭代可以得到更加精确的值。

方法2：

我们可以很容易得到根号2的范围，明显是大于1的，所以我们可以按照y=x+1的函数来表示，即

√2 = y=1+x

对上式做平方，得到

2=（1+x）(1+x),得到

2=1+x*x+2*x+1,进一步得到，

x*x+2*x=1,推得，x*(x+2)=1,得到

x=1/（x+2）,所以

1/x=2+x=2+1/(2*x)=2+1/(2*1/（x+2）)

=2+1/(2*1/（1/（x+2）+2）)

按照这种方式可以不断的推导，得到更加精确的值。

计算机如何计算根号2

当然还有很多高大上的方法来进一步辅助，比如牛顿迭代法，二分法等

那么如何在计算机中来计算得到根号2呢， 这里要介绍一个传奇算法：算法名字就是：0x5f375a86，看起来像是一个内存地址一样，该算法据说比牛顿迭代法快4倍，核心的代码类似下面这样：

i = 0x5f375a86 - (i>>1);

至今为止仍未能确切知晓此常数的起源 ，值得一提的是这个值最初为0x5f3759df，后来由Lomont通过暴力穷举找到这个更优值，即0x5f375a86.

Lomont采用暴力方法逐步尝试，终于找到一个比之前的好那么一丁点的数字，虽然实际上这两个数字所产生的结果非常近似，这个暴力得出的数字是0x5f375a86，为此他写了一篇论文《Fast Inverse Square Root》。

如果以皮亚诺公理作为基础，应如何证明根号2不是有理数呢？皮亚诺公理到定义加法、乘法并证明其交换律、结合律、分配律和序的概念，定义整数、减法、负数、交换环、序，定义有理数、除法、域、序、自然数次幂的指数运算。基础的定义已经做完了，但是没有n次根，毕竟n次根是在实数中定义的。不过可以做个等价命题，即不存在有理数x使得x^2=2。为了方便证明，定义奇数偶数。先假设存在x使上式成立，则x=0，不妨设x为正，则存在正整数p、q使得x=p/q。由命题可知p^2=2q^2。由奇偶可知，p为偶数，设p=2k，也q^2=2k^2，且q＜p。p':=q和q':=k，则由方程p^2=2q^2的解（p，q）过渡到新解（p'，q'）且新解的值更小，重复上述可得一组无穷递减的自然数解，这与无限减小原理矛盾，因此不存在。无限减小原理:不可能有无限减小的自然序列。当然这个也得证明，可以利用数学归纳法。

以上证明出自《陶哲轩实分析》，思路清晰，证明严谨，没有用到素数相关的知识，很多初等证明直接假设p、q互素，但是互素也需要证明，而且那是数论的范畴。

一点感想

学习需要循序渐进和有所取舍，正如闻道有先后，术业有专攻，对于初等数学阶段的证明我们就按照直观感觉去思考，不必深究。否则最应该笑得是哲学家。

回答于 2019-09-11 08:43:50

我想从以下几个角度为大家讲解一下这个问题，供大家参考。

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