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两个有理数之间必然存在一个无理数，两个无理数之间必然存在一个有理数，但是为何无理数多于有理数？

无理数,有理数,都是两个有理数之间必然存在一个无理数，两个无理数之间必然存在一个有理数，但是为何无理数多于有理数？

发布时间：2020-12-06加入收藏来源：互联网点击：4

两个有理数之间必然存在一个无理数，两个无理数之间必然存在一个有理数，但是为何无理数多于有理数？

回答于 2019-09-11 08:43:50

回答于 2019-09-11 08:43:50

两个有理数之间不是应该有无数个无理数吗？

回答于 2019-09-11 08:43:50

集合里面，假设无理数是一个集合，有理数是一个集合，那么有理数集合的每一个有理数都能在无理数集合里面找到对应无理数，但是反过来，无理数集合里面的无理数很多都无法在有理数集合里面找到对应的有理数，所以，无理数比有理数多。

回答于 2019-09-11 08:43:50

必然存在一个，没问题，但是因此就两者数量相等就有问题。

直观上理解，存在一些和存在很多都是至少存在一个，但两者能相等么

回答于 2019-09-11 08:43:50

举一个简单的例子说明有理数和无理数的关系，比如，对于圆的直径和周长，很多人一定会说直径是有理数，周长是无理数。但这个说法是不严密的。假如，我们用一米长的线段弯成一个圆，问该圆的直径是多少？你会发现直径是个无理数。所以，某个“数”是有理数还是无理数，与我们对单位“1”的定义有关，将圆的直径定义为“1”，周长就是无理数π，将圆的周长定义为“1”，直径就是无理数“π分之一”。

回答于 2019-09-11 08:43:50

嗯，命题当然是没有错的，事实上这个命题可以加强为：

1.任意两个有理数（不相等）之间存在无穷多个无理数

2.任意两个无理数（不相等）之间存在无穷多个有理数

下面我尝试证明一下。

命题1，任意取两个正有理数Q1和Q2，不妨设0<Q1<Q2。根据定义可以令Q1=m1/n1，Q2=m2/n2。任取一自然数k>1, 有Q1=(m1n2)k/(n1n2)k<(m1n2k+√2/2)/n1n2k<(m1n2+1)k/(n2n1)k≤(m2n1)k/(n2n1)k=Q2，即对于任意大于1的自然数k，总能至少找到一个无理数位于Q1和Q2之间，而大于1的自然数有无穷多个，因此两个正有理数之间存在无穷多个无理数，对于一正一负或者两个负有理数也是类似的，命题1得证。

命题2，写的太累，不写了

回答于 2019-09-11 08:43:50

这个问题要从集合论的角度来分析，两者虽然都是无穷集，但是有理数集是可列集，而无理数集是不可列集，两者的势是不相等的，任何一个可列集都要小于不可列集，所以有理数集远小于无理数集，这跟自然数集与有理数集等价是一样的道理

回答于 2019-09-11 08:43:50

虽然无理数之间必然有有理数，有理数之间也必然有无理数，但是它们不存在一一对应关系。

来个不恰当的比方，一滴红墨水，落在一杯水里，完全溶解，从你的眼睛来看的话，“仿佛”任何水滴之间都有染料，而任何染料之间，都有水。这个时候，你也不能说一滴墨水跟一杯水一样重吧？

具体比较无限的大小的话，可列的，或者说可数的，就是可以用1，2，3，4....数下去的无限集，是最小的。

回答于 2019-09-11 08:43:50

你确定无理数多于有理数？

给出证明。

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