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我们知道根号2是无限不循环小数，是怎样得到这个结论的，请赐教？

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发布时间：2016-12-08加入收藏来源：互联网点击：

我们知道根号2是无限不循环小数，是怎样得到这个结论的，请赐教？

回答于 2019-09-11 08:43:50

回答于 2019-09-11 08:43:50

无限不循环小数，统称为无理数。√2的出现，诞生了人类进步史上的“第一次数学危机”。

首先，简单回顾下“数”的分类

在数学上，任何一个数都可以表示为复数z=a+bi的形式。其中，a为实部，b为虚部(i为虚数单位)。

当b=0时，z=a为实数；

当a=0时，z=bi为纯虚数；

当a、b均不为0时，z=a+bi为复数。

而实数，又分为有理数和无理数。有理数比较好理解，头疼的是无理数。√2、圆周率π、自然常数e等都是常见的无理数。而正是因为无理数的发现，诞生了人类进步史上的“第一次数学危机”。

(关于第一次数学危机的故事，将在文末简单讲述。)

无理数让人头疼的地方，不单单是它的“无限”，更主要的是它的“不循环”。像圆周率π，借助电脑已计算出小数点后10万亿位，也找不到其小数点后数字出现的任何规律。


无理数√2是由数学家毕达哥拉斯的徒弟希伯索斯，在研究边长为1的等腰直角三角形斜边长时发现的。

那么，我们借助等腰直角三角形，来谈一谈√2为什么会出现无限不循环这一结论。

√2的无限不循环论证

我们从两个方面来进行论证，第一步是先用逼近法得出√2的近似值，第二步是用反证法证明√2是无理数。由此得出，√2是无限不循环小数的结论。

(接下来可能比较枯燥，没有太多的配图，有劳耐心阅读，用时约5分钟)

第一步，逼近法，求得近似值

勾股定理 c² = a² + b²

设某直角三角形为等腰直角三角形，且直角边长为1

则 a = b = 1，所以 c² = 1² + 1² = 2，得 c =√2

1² = 1 ，2² = 4 ，c² = 2

则 1 ＜ c ＜ 2 ，即 1 ＜√2 ＜ 2

再取1和2的中间数1.5，1.5² = 2.25 ＞ 2，得√2 ＜ 1.5

当取 1.4² = 1.96 ＜ 2，得1.4 ＜√2 ＜ 1.5

当取 1.414212² ＜√2 ＜ 1.414214²；

当取 1.414213561² ＜√2 ＜ 1.414213563²；

依此类推，可得到√2 ≈ 1.4142135623730950488...

那么，√2 的小数点后位数会是有限的吗？即使无限，会出现循环吗？这将是我们下一步需要做的事情。

(下图与本文关联度不大，占个位置避免眼花，有兴趣的可以拓展了解下)

第二步，反证法，证明√2是无限不循环小数

首先，我们确定的是，√2为正数，更是一个实数。

另外，我们知道实数的一个特性：

奇数 x 奇数 = 奇数 ；

偶数 x 偶数 = 偶数 ；

奇数 x 偶数 = 偶数 。




虽然我们较难轻易直接证明√2无限不循环，但可以通过反证法，假设√2为有限小数，或无限循环小数，即√2为有理数。

任何一个有理数，都可以表示成分数形式，即a/b，其中a、b均为整数。

所以，设√2 = a/b ，且a、b已互质(没有公约数)，

则 (√2)² = (a/b)²

⇒ 2 = a²/b² ⇒ 2b² = a²

2b²必为偶数 ⇒ a²为偶数

a x a = 偶数 ⇒ a为偶数

a为偶数 ⇒ a²必能被4整除

那么，1/2a²仍为偶数




再由(√2)² = (a/b)² ⇒ b² = a²/2，则b²也是偶数

b x b = 偶数 ⇒ b为偶数




a为偶数，b为偶数，说明a、b还有公约数

这与“a、b已互质”的前提矛盾




若说a、b已互质的前提假设错误，那么a、b可以化简直至最终互质。显然，这个假设前提不是矛盾的关键点所在。

那么，这个矛盾的关键点，最终还只能是“设√2 = a/b”不成立。即√2不是有理数。

作为实数的√2不是有理数，那么√2就只能是无理数，即无限不循环小数。

如上的反证法，是较常用的“奇偶分析法”。当然，证明√2是无理数(无限不循环小数)的方法不限于此，其他还有如“尾数证明法”，“连分数法”，“构图法”等。如有其他更好证明方法的伙伴，欢迎下方评论区留言讨论。

第一次数学危机(简述)

约公元前５世纪，有着“数学教父”之称的毕达哥拉斯，发现了“直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方”，西方称之为“毕达哥拉斯定理”，在中国称之为“勾股定理”(最早约公元前1100年，西周初年的商高提出了“勾三股四弦五”)。

毕达哥拉斯经长期研究，各地宣讲、收徒，虽然过程不乏艰辛，但最终名声显赫，非常权威。毕达哥拉斯学派曾流传一句名言，“万物毕数”。他们所说的“数”，按现今分类只是“有理数”范畴。

他们认为，世上万物都可以用数来表达，其中“整数”是上帝创造的，完美无缺。而分数是两个整数的比。除了整数和分数外，世上不可能再有其他什么数了。

然而，毕达哥拉斯的一个学生希伯索斯，在研究边长为1的正方形时，发现其对角线长√2既不是整数，也不是分数，而是介于1和2之间的一个数。

1和2之间显然不再有整数，那么√2是不是介于1和2之间的某个分数呢？

即：3/2；4/3；5/3，5/4；6/4，6/5；7/4，7/5，7/6；8/5，8/6，8/7；9/5，......当中的一个？

然后，他分别求证这些数，看有没有平方等于2的，结果可想而知。

......

希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷。证明了它不能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。

诱发第一次数学危机的一个间接因素是之后“芝诺悖论”，它更增加了数学家们的担忧：数学作为一门精确的科学是否还有可能？

直至约公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。也正是由于第一次数学危机的发生和解决，希腊数学走上完全不同的发展道路，为世界数学作出了另一种杰出的贡献。

回答于 2019-09-11 08:43:50

大家知道，无理数也称为无限不循环小数，如圆周率π、√2（根号2）等，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。常见的无理数包括大部分数的平方根、π等。这个在公元前就被放出来的魔鬼，虽然在两千多年来一直被全世界的人们使用，却又让人们一直在逻辑上无法接受它的存在。甚至有很多人人为，是我们基于整数的整个数学体系出了问题。

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