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圆的周长、面积，球的表面积和体积公式，如何用微积分精确推出来？分析一下？

公式,面积,积分圆的周长、面积，球的表面积和体积公式，如何用微积分精确推出来？分析一下？

发布时间：2019-02-08加入收藏来源：互联网点击：

对于曲面 B' 来说，有：

∂f/∂x = -x/√(R - x² - y²) , ∂f/∂y = -y/√(R - x² - y²)

带入上面得到：

cos r = 1/(√ x² / (R² - x² - y²) + y² / (R² - x² - y²) + 1) = √(R² - x² - y²) / R

于是，曲面B' 面积 的 二重黎曼积分为：

再利用，前面推导出来的 极坐标下二重积分的计算公式，有：

最后，根据对称性 B 的表面积 是 B' 的两倍，于是我们得到 球的表面积公式：

B = 2B' = 4πR²

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考虑，沿着 X 轴，并垂直于 X 轴 将 球体 切成 无数 薄片，

和上面类似，对于每一个薄片，外圈表面积 ΔBᵢ 同样是 顶面半径 为 √(R² - x²) 的 圆柱体 圆面 面积 2π√(R² - x²) Δxᵢ 的 1/cos r 倍数，

这里的 r 是，曲线 y = f(x) = √(R² - x²) 上 (x, f(x)) 点 处切线 和 X 轴的 夹角，也等于 曲线 在该点 处 切线法线 n = (-f', 1) 和 Y轴 单位向量 j = (0, 1) 的夹角。

同样，根据内积公式有：

cos r = n ⋅ k / |n||k| = 1/√(f'² + 1) = 1 / √((-x/√(R² - x²)) ² + 1) = 1 / √(x²/(R² - x²) + 1) = √(R² - x²) / R

于是，

ΔBᵢ = 2π√(R² - x²) Δxᵢ / cos r = 2πR Δxᵢ

进而，令 λ = max{Δxᵢ, i = 1, ..., n} 使用黎曼积分，就得到 B 的表面积：

球的体积公式

设，球面 B 内部球体 为：

V = {(x, y, z) | x² + y² + z² ≤ R² }

与上面类似，沿着 X 轴，并垂直于 X 轴 将 球体 V 切成 无数 薄片，则每个厚度为 Δxᵢ = xᵢ - xᵢ₋₁ 的薄片的体积 近似等于 半径为 √(R² - ξᵢ²) （ξᵢ ∈ [xᵢ₋₁, xᵢ]） 的 同样厚度的圆柱体的体积：

ΔVᵢ = π(√(R² - ξᵢ²))² Δxᵢ = π(R² - ξᵢ²) Δxᵢ

接着，令 λ = max{Δxᵢ, i = 1, ..., n} ，使用 黎曼积分，就得到 V 的体积：

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当然我们也可使用三重积分计算球的体积。利用，柱面坐标计算三重积分和上面的方法类似，这里略。

利用，球面坐标下的三重积分计算公式：

对于，P 点的 球面坐标 定义为：

ρ ∈ [0, R]为 |OP|，φ ∈[0, π] 为 OP 于 Z 轴夹角，θ ∈[-π, π] 为 OP 在 XOY 平面上的投影 与 X 轴的夹角，

则，有，

这个公式的推导，和上面 极坐标下二重重积分计算公式的推导非常类似，有兴趣大家可以自己试一试。

对于 球体 V 的体积，来说：

f(x, y, z) = F(ρ, φ, θ) = 1, ρ(φ, θ) = R

于是，有：

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最后，大家需要知道，为了不分散注意力，以上所有积分均忽略了 函数 是否在 区域边界处有意义问题！如果，函数在边界无定义，则可以通过 有定义的闭区域 极限逼近 的方法求得，一般来说，最后结果和不考虑其实一样。

例如，f(x) 在 [a, b) 有定义，在 b 点无定义，则 f(x) 在 [a, b] 上的积分 可以定义为：

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（当然，用微积分推导 圆或球的相关几何公式，不止以上介绍的这些！小石头这里只是抛砖引玉，欢迎大家讨论！）

（由于小石头数学水平有限，出错在所难免，欢迎各位老师和同学批评指正。）

回答于 2019-09-11 08:43:50

圆的周长从圆心做三角形顶点到圆上可以分割n个三角直角三角形，一个直角边是半径，另外是圆周长上的微分.1/2r△x,所有的△x加起来正好是圆周长，所以圆面积等于∏r2

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