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圆的周长、面积,球的表面积和体积公式,如何用微积分精确推出来?分析一下?
公式,面积,积分圆的周长、面积,球的表面积和体积公式,如何用微积分精确推出来?分析一下?
发布时间:2019-02-08加入收藏来源:互联网点击:
对于曲面 B' 来说,有:
∂f/∂x = -x/√(R - x² - y²) , ∂f/∂y = -y/√(R - x² - y²)
带入上面得到:
cos r = 1/(√ x² / (R² - x² - y²) + y² / (R² - x² - y²) + 1) = √(R² - x² - y²) / R
于是,曲面B' 面积 的 二重黎曼积分为:
再利用,前面推导出来的 极坐标下二重积分的计算公式,有:
最后,根据对称性 B 的表面积 是 B' 的两倍,于是我们得到 球的表面积公式:
B = 2B' = 4πR²
考虑,沿着 X 轴,并垂直于 X 轴 将 球体 切成 无数 薄片,
和上面类似,对于每一个薄片,外圈表面积 ΔBᵢ 同样是 顶面半径 为 √(R² - x²) 的 圆柱体 圆面 面积 2π√(R² - x²) Δxᵢ 的 1/cos r 倍数,
这里的 r 是,曲线 y = f(x) = √(R² - x²) 上 (x, f(x)) 点 处切线 和 X 轴的 夹角,也等于 曲线 在该点 处 切线法线 n = (-f', 1) 和 Y轴 单位向量 j = (0, 1) 的夹角。
同样,根据内积公式有:
cos r = n ⋅ k / |n||k| = 1/√(f'² + 1) = 1 / √((-x/√(R² - x²)) ² + 1) = 1 / √(x²/(R² - x²) + 1) = √(R² - x²) / R
于是,
ΔBᵢ = 2π√(R² - x²) Δxᵢ / cos r = 2πR Δxᵢ
进而,令 λ = max{Δxᵢ, i = 1, ..., n} 使用黎曼积分,就得到 B 的表面积:
球的体积公式
设,球面 B 内部球体 为:
V = {(x, y, z) | x² + y² + z² ≤ R² }
与上面类似,沿着 X 轴,并垂直于 X 轴 将 球体 V 切成 无数 薄片,则每个厚度为 Δxᵢ = xᵢ - xᵢ₋₁ 的薄片的体积 近似等于 半径为 √(R² - ξᵢ²) (ξᵢ ∈ [xᵢ₋₁, xᵢ]) 的 同样厚度的圆柱体的体积:
ΔVᵢ = π(√(R² - ξᵢ²))² Δxᵢ = π(R² - ξᵢ²) Δxᵢ
接着,令 λ = max{Δxᵢ, i = 1, ..., n} ,使用 黎曼积分,就得到 V 的体积:
当然我们也可使用三重积分计算球的体积。利用,柱面坐标计算三重积分和上面的方法类似,这里略。
利用,球面坐标下的三重积分计算公式:
对于,P 点的 球面坐标 定义为:
ρ ∈ [0, R]为 |OP|,φ ∈[0, π] 为 OP 于 Z 轴夹角,θ ∈[-π, π] 为 OP 在 XOY 平面上的投影 与 X 轴的夹角,
则,有,
这个公式的推导,和上面 极坐标下二重重积分计算公式的推导非常类似,有兴趣大家可以自己试一试。
对于 球体 V 的体积,来说:
f(x, y, z) = F(ρ, φ, θ) = 1, ρ(φ, θ) = R
于是,有:
最后,大家需要知道,为了不分散注意力,以上所有积分均忽略了 函数 是否在 区域边界处有意义问题!如果,函数在边界无定义,则可以通过 有定义的闭区域 极限逼近 的方法求得,一般来说,最后结果和不考虑其实一样。
例如,f(x) 在 [a, b) 有定义,在 b 点无定义,则 f(x) 在 [a, b] 上的积分 可以定义为:
(当然,用微积分推导 圆或球的相关几何公式,不止以上介绍的这些!小石头这里只是抛砖引玉,欢迎大家讨论!)
(由于小石头数学水平有限,出错在所难免,欢迎各位老师和同学批评指正。)
回答于 2019-09-11 08:43:50
圆的周长从圆心做三角形顶点到圆上可以分割n个三角直角三角形,一个直角边是半径,另外是圆周长上的微分.1/2r△x,所有的△x加起来正好是圆周长,所以圆面积等于∏r2
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