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圆的周长、面积,球的表面积和体积公式,如何用微积分精确推出来?分析一下?
公式,面积,积分圆的周长、面积,球的表面积和体积公式,如何用微积分精确推出来?分析一下?
发布时间:2019-02-08加入收藏来源:互联网点击:
圆的周长、面积,球的表面积和体积公式,如何用微积分精确推出来?分析一下?
回答于 2019-09-11 08:43:50
回答于 2019-09-11 08:43:50
(应邀,小石头尝试着来回答这个问题)
圆的周长公式
我们知道在二维几何平面上,对于 以原点为圆心,R为半径的 圆 C,在笛卡尔直角坐标下,曲线方程为:
x² + y² = R²
在 极坐标下,曲线方程为:
ρ = R, θ ∈ (-π, π]
两者结合,就得到 一个笛卡尔直角坐标下参数方程(θ ∈ (-π, π]):
x = R cosθ
y = R sinθ
利用,关于弧长的曲线积分公式:
令, f(x, y) = 1,就是 计算 曲线 L 的 弧长 的公式。
这里,我们 将C 看成 从 a = (-R, 0) 点 出发 按照逆时针方向 旋转一周 又回到 a 点的曲线,
于是,计算 C 的 弧长为:
这个弧长就是 C 的周长,这样,我们就得到了,所熟悉的 圆的周长公式:
C = 2πR
考虑,C 位于 X 之上的部分 C',
令,t = x,则 C' 的参数方程为(t ∈ [-R, R]):
x = t
y = √(R²-t²)
同样,利用上面的弧长公式,计算 C' 的弧长为:
而 C 的周长显然是 C' 弧长的 2 倍,于是,我们就又得到了圆的周长公式:
C = 2C' = 2πR
圆的面积公式
设,圆 C 的内部圆盘 为:
S = {(x, y) | x² + y² ≤ R² }
在 平面极坐标下,圆盘 S 可以被分割为无数的 "小扇形 ",
每个 小扇形 的面积 近似等于 以弧长 Δl = R Δθ 为底 以半径 R 为高的 三角形面积:
ΔS = (1/2)R(RΔθ) = (R²/2) Δθ
这些 ΔS 全部加起来,然后让 每个 ΔS 尽量小,即, Δθ 取 0 的极限,这样,就得到一个黎曼积分,
这个结果就是 全部小扇形 的面积 之和,即,S 的面积,于是我们得到,圆的面积公式:
S = πR²
上面的结果,告诉我们,其实,在 关于弧长的曲线积分公式 中,令 F(x, y) = (R²/2),对 圆周 C 进行 弧长积分,就可以得到 圆的面积 S。
反正都是常数,不妨让 f(θ) = (R²/2),则 S 面积 为 如下黎曼积分:
同样在 平面极坐标下,我们还可以将 S 分成无数的 小圆环,
将周长公式中半径设为变量 ρ 于是得到周长函数:
f(ρ) = 2πρ
这样,每个小圆环的面积 近似的等于,以 周长为高 以 内径为底的矩形面积(想象将小圆环 从 极轴处水平剪开,然后上下拉直,由于圆环很薄因此内外周长几乎相等,构成矩形的左右两个边, 而内径本来就相同,构成矩形的上下两个边):
ΔSᵢ = f(ξᵢ)Δρᵢ
其中,Δρᵢ = ρᵢ - ρᵢ₋₁,ξᵢ ∈ [ρᵢ₋₁, ρᵢ],又令 λ = max{Δρᵢ, i = 1, ..., n} 于是我们又得到一个标准的黎曼积分:
这个结果就是 全部小圆环 的面积 之和,即,S 的面积,于是我们又得到圆的面积公式:
S = πR²
上面的结果说明一个事实:
以半径 ρ 为变量的,面积函数 F(ρ) = πρ² 是 周长函数 f(ρ) = 2πρ 的原函数,并且 有条件 F(0) = 0,使得不定积分常数 C = 0,即,
绘制成图如下:
反过来,这同样说明:圆的周长函数 f(ρ) = 2πρ 是 面积函数 F(ρ) = πρ² 的导数,所以,我们其实可以从圆的面积公式通过求导得到圆的周长公式,即,
从 S 的面积公式通过求导得到 C 的周长公式,这要求 求得 S 面积时 不使用 C 的周长公式,可以考虑,平面直角坐标系下, C 在 第Ⅰ象限的部分,
C 的这部分的函数为:
y = f(x) = √(R² - x²)
于是直接利用 黎曼积分,可以求出 S 在 第Ⅰ象限 部分 S' 的面积 如下:
注意:为了节约篇幅,从这里开始,复杂的不定积分推导过程均省略,有兴趣大家可以自行推导。
而根据 对称性,S 的面积 是 S' 的 4 倍,于是我们就双得到了圆面积公式:
S = 4S' = 4(πR²/4) = πR²
还可以利用,格林公式:
这里,D 就是 S,L 就是 C,只要设,
Q(x, y) = x, P(x, y) = 1
于是,格林公式左边为:
这就是 S 的面积。接着 利用,两类曲线积分的关系:
结合 上面 C 的 第一个参数方程,格林公式右边为:
格林公式左右联立,于是我们叒得到圆的面积公式:
S = ∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy = ∮_C (Pdx + Qdy) = πR²
其实,也可以直接 求 上面的 二重黎曼积分,
另外,在平面极坐标下,考虑 二重黎曼积分 更一般的形式:
可以将 S 的内部 分为 许多 ”小扇面“,
每一个小扇面的面积,近似等于红色梯形面积(大三角形减去小三角形):
Δσᵢ = 1/2 ρᵢ² Δθᵢ - 1/2 (ρᵢ - Δρᵢ)² Δθᵢ = [(ρᵢ + ρᵢ₋₁) / 2] Δρᵢ Δθᵢ = ρ'ᵢ Δρᵢ Δθᵢ
其中,Δθᵢ = θᵢ - θᵢ₋₁, Δρᵢ = ρᵢ - ρᵢ₋₁,令,λ = max{Δσᵢ, i= 1, 2, ..., n = m²},并取小扇面 的中心点 (ρ'ᵢ, θ'ᵢ) 处 的 二元函数值 f(ρ'ᵢcosθ', ρ'ᵢsinθ'),于是就得到了 极坐标下的二重积分计算公式:
注意:以上的推导过程,可以 从 圆盘 S 扩展到 任意 有界封闭区域 D。
利用,上面的 二重积分计算公式,有:
这样,我们就叕得到了圆的面积公式。
球的表面积公式
在三维空间中,以 圆点为 球心,以 R 为半径的 球面 B,在笛卡尔直角坐标下,曲面方程为:
x² + y² + z² = R²
于是,球面 B 在 XOY 平面的上半部分 的 曲面 B' 对应的二元函数为:
z = f(x, y) = √(R² - x² - y²)
对于 XOY平面 上 的任意 中心 为 (x, y) 的 一小块 Δσ 沿着Z轴(垂直于 XOY平面),投影到 B' 上的面积,近似于 投影 到 B' 在 (x, y, f(x, y)) 处 切面 上的面积 Δm , 设 r 是 该切面 与 XOY平面 的夹角,则有:
Δm = Δσ / cos r
为什么呢?因为:Δσ 可以分成 无数个小矩形:
Δσ = ∑ aᵢ × bᵢ
让 aᵢ 边 与 切面 与 XOY平面 交线 平行,于是 bᵢ 边 就与 交线 垂直,
这样 aᵢ 边 在 切面上的投影仍然是 aᵢ ,bᵢ 边在切面上的投影 则是 bᵢ / cos r,于是 每个小矩形 在切面上的投影 面积 为 (aᵢ × bᵢ) /cos r,进而有:
Δm =∑ (aᵢ × bᵢ) / cos r = Δσ / cos r
另外,根据立体几何知识,我们知道:
B' 在 (x, y, f(x, y)) 处 的切面 与 XOY 平面 的夹角 等于 B' 在 (x, y, f(x, y)) 点 切面法线 和 Z 轴 的夹角,
又因为,B' 在 (x, y, f(x, y)) 点的 切面法线向量 为:
n = (-∂f/∂x, -∂f/∂y, 1)
Z 轴 单位向量 为:
k = (0, 0, 1)
所以,根据内积的定义,有:
cos r = n ⋅ k / |n||k| = 1/√((∂f/∂x)² + (∂f/∂y)² + 1)
注意:上面的结论(以及证明过程)适用于,任何可表示为 函数 z = f(x, y) 形式的 正则曲面,而非仅仅是 B'。
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