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圆的周长、面积，球的表面积和体积公式，如何用微积分精确推出来？分析一下？
公式,面积,积分圆的周长、面积，球的表面积和体积公式，如何用微积分精确推出来？分析一下？
发布时间：2019-02-08加入收藏来源：互联网点击：
圆的周长、面积，球的表面积和体积公式，如何用微积分精确推出来？分析一下？
回答于 2019-09-11 08:43:50
回答于 2019-09-11 08:43:50
（应邀，小石头尝试着来回答这个问题）
圆的周长公式
我们知道在二维几何平面上，对于 以原点为圆心，R为半径的 圆 C，在笛卡尔直角坐标下，曲线方程为：
x² + y² = R²
在 极坐标下，曲线方程为：
ρ = R， θ ∈ (-π, π]
两者结合，就得到 一个笛卡尔直角坐标下参数方程（θ ∈ (-π, π]）：
x = R cosθ
y = R sinθ
利用，关于弧长的曲线积分公式：
令， f(x, y) = 1，就是 计算 曲线 L 的 弧长 的公式。
这里，我们 将C 看成 从 a = (-R, 0) 点 出发 按照逆时针方向 旋转一周 又回到 a 点的曲线，
于是，计算 C 的 弧长为：
这个弧长就是 C 的周长，这样，我们就得到了，所熟悉的 圆的周长公式：
C = 2πR
考虑，C 位于 X 之上的部分 C'，
令，t = x，则 C' 的参数方程为（t ∈ [-R, R]）：
x = t
y = √(R²-t²)
同样，利用上面的弧长公式，计算 C' 的弧长为：
而 C 的周长显然是 C' 弧长的 2 倍，于是，我们就又得到了圆的周长公式：
C = 2C' = 2πR
圆的面积公式
设，圆 C 的内部圆盘 为：
S = {(x, y) | x² + y² ≤ R² }
在 平面极坐标下，圆盘 S 可以被分割为无数的 "小扇形 "，
每个 小扇形 的面积 近似等于 以弧长 Δl = R Δθ 为底 以半径 R 为高的 三角形面积：
ΔS = (1/2)R(RΔθ) = (R²/2) Δθ
这些 ΔS 全部加起来，然后让 每个 ΔS 尽量小，即， Δθ 取 0 的极限，这样，就得到一个黎曼积分，
这个结果就是 全部小扇形 的面积 之和，即，S 的面积，于是我们得到，圆的面积公式：
S = πR²
上面的结果，告诉我们，其实，在 关于弧长的曲线积分公式 中，令 F(x, y) = (R²/2)，对 圆周 C 进行 弧长积分，就可以得到 圆的面积 S。
反正都是常数，不妨让 f(θ) = (R²/2)，则 S 面积 为 如下黎曼积分：
同样在 平面极坐标下，我们还可以将 S 分成无数的 小圆环，
将周长公式中半径设为变量 ρ 于是得到周长函数：
f(ρ) = 2πρ
这样，每个小圆环的面积 近似的等于，以 周长为高 以 内径为底的矩形面积（想象将小圆环 从 极轴处水平剪开，然后上下拉直，由于圆环很薄因此内外周长几乎相等，构成矩形的左右两个边， 而内径本来就相同，构成矩形的上下两个边）：
ΔSᵢ = f(ξᵢ)Δρᵢ
其中，Δρᵢ = ρᵢ - ρᵢ₋₁，ξᵢ ∈ [ρᵢ₋₁, ρᵢ]，又令 λ = max{Δρᵢ, i = 1, ..., n} 于是我们又得到一个标准的黎曼积分：
这个结果就是 全部小圆环 的面积 之和，即，S 的面积，于是我们又得到圆的面积公式：
S = πR²
上面的结果说明一个事实：
以半径 ρ 为变量的，面积函数 F(ρ) = πρ² 是 周长函数 f(ρ) = 2πρ 的原函数，并且 有条件 F(0) = 0，使得不定积分常数 C = 0，即，
绘制成图如下：
反过来，这同样说明：圆的周长函数 f(ρ) = 2πρ 是 面积函数 F(ρ) = πρ² 的导数，所以，我们其实可以从圆的面积公式通过求导得到圆的周长公式，即，
从 S 的面积公式通过求导得到 C 的周长公式，这要求 求得 S 面积时 不使用 C 的周长公式，可以考虑，平面直角坐标系下， C 在 第Ⅰ象限的部分，
C 的这部分的函数为：
y = f(x) = √(R² - x²)
于是直接利用 黎曼积分，可以求出 S 在 第Ⅰ象限 部分 S' 的面积 如下：
注意：为了节约篇幅，从这里开始，复杂的不定积分推导过程均省略，有兴趣大家可以自行推导。
而根据 对称性，S 的面积 是 S' 的 4 倍，于是我们就双得到了圆面积公式：
S = 4S' = 4(πR²/4) = πR²
还可以利用，格林公式：
这里，D 就是 S，L 就是 C，只要设，
Q(x, y) = x, P(x, y) = 1
于是，格林公式左边为：
这就是 S 的面积。接着 利用，两类曲线积分的关系：
结合 上面 C 的 第一个参数方程，格林公式右边为：
格林公式左右联立，于是我们叒得到圆的面积公式：
S = ∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy = ∮_C (Pdx + Qdy) = πR²
其实，也可以直接 求 上面的 二重黎曼积分，
另外，在平面极坐标下，考虑 二重黎曼积分 更一般的形式：
可以将 S 的内部 分为 许多 ”小扇面“，
每一个小扇面的面积，近似等于红色梯形面积（大三角形减去小三角形）：
Δσᵢ = 1/2 ρᵢ² Δθᵢ - 1/2 (ρᵢ - Δρᵢ)² Δθᵢ = [(ρᵢ + ρᵢ₋₁) / 2] Δρᵢ Δθᵢ = ρ'ᵢ Δρᵢ Δθᵢ
其中，Δθᵢ = θᵢ - θᵢ₋₁, Δρᵢ = ρᵢ - ρᵢ₋₁，令，λ = max{Δσᵢ, i= 1, 2, ..., n = m²}，并取小扇面 的中心点 (ρ'ᵢ, θ'ᵢ) 处 的 二元函数值 f(ρ'ᵢcosθ', ρ'ᵢsinθ')，于是就得到了 极坐标下的二重积分计算公式：
注意：以上的推导过程，可以 从 圆盘 S 扩展到 任意 有界封闭区域 D。
利用，上面的 二重积分计算公式，有：
这样，我们就叕得到了圆的面积公式。
球的表面积公式
在三维空间中，以 圆点为 球心，以 R 为半径的 球面 B，在笛卡尔直角坐标下，曲面方程为：
x² + y² + z² = R²
于是，球面 B 在 XOY 平面的上半部分 的 曲面 B' 对应的二元函数为：
z = f(x, y) = √(R² - x² - y²)
对于 XOY平面 上 的任意 中心 为 (x, y) 的 一小块 Δσ 沿着Z轴（垂直于 XOY平面），投影到 B' 上的面积，近似于 投影 到 B' 在 (x, y, f(x, y)) 处 切面 上的面积 Δm , 设 r 是 该切面 与 XOY平面 的夹角，则有：
Δm = Δσ / cos r
为什么呢？因为：Δσ 可以分成 无数个小矩形：
Δσ = ∑ aᵢ × bᵢ
让 aᵢ 边 与 切面 与 XOY平面 交线 平行，于是 bᵢ 边 就与 交线 垂直，
这样 aᵢ 边 在 切面上的投影仍然是 aᵢ ，bᵢ 边在切面上的投影 则是 bᵢ / cos r，于是 每个小矩形 在切面上的投影 面积 为 (aᵢ × bᵢ) /cos r，进而有：
Δm =∑ (aᵢ × bᵢ) / cos r = Δσ / cos r
另外，根据立体几何知识，我们知道：
B' 在 (x, y, f(x, y)) 处 的切面 与 XOY 平面 的夹角 等于 B' 在 (x, y, f(x, y)) 点 切面法线 和 Z 轴 的夹角，
又因为，B' 在 (x, y, f(x, y)) 点的 切面法线向量 为：
n = (-∂f/∂x, -∂f/∂y, 1)
Z 轴 单位向量 为：
k = (0, 0, 1)
所以，根据内积的定义，有：
cos r = n ⋅ k / |n||k| = 1/√((∂f/∂x)² + (∂f/∂y)² + 1)
注意：上面的结论（以及证明过程）适用于，任何可表示为 函数 z = f(x, y) 形式的 正则曲面，而非仅仅是 B'。
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