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如何广义理解“所有自然数之和”？

级数,函数,黎曼如何广义理解“所有自然数之和”？

发布时间：2016-12-08加入收藏来源：互联网点击：

如何广义理解“所有自然数之和”？

回答于 2019-09-11 08:43:50

回答于 2019-09-11 08:43:50

爱好数学的小朋友也许听到过这样一种说法：全体自然数的和是-1/12，也就是说：


类似这种结论的式子还有好多，例如：

看起来，这似乎显然是错的，因为等号左边应该是无穷大，而等号右边是个确定的数字，两边不应该相等。那么为什么会有这样的等式出现呢？

欧拉级数

为了理解这个等式，我们还是需要从数学家欧拉说起。欧拉曾经研究过这样一个级数求和的问题：

这里的ξ读作“可塞”，是一个希腊字母，而Σ读作“西格玛”，也是一个希腊字母，表示求和的意思。这个级数是指：把全体自然数的s次幂取倒数，再把它们求和。

这个级数有什么奇妙的性质呢？

我们首先来看s=1的情况：

这个级数称为调和级数，调和级数有无穷多项，但是越往后越小。如果最后无穷多项加起来是一个有限的数，就称为级数收敛；如果最后加起来是无穷大，就称为级数发散。大家知道这个级数是收敛还是发散的吗？

在中世纪的时候，人们已经证明了这个级数是发散的，方法很简单：放缩。我们可以把1/3变小为1/4， 把1/5、1/6、1/7、1/8变小为1/8，再把1/9、…、1/16都变小为1/16，以此类推，这样整个级数就缩小了。缩小后的级数有两个1/4，加起来是1/2；有4个1/8，加起来是1/2，有8个1/16，加起来是1/2….这样一来，新的级数一定会增长到无穷大，而调和级数比缩小后的级数大，调和级数自然是发散的。

我们再来看s>1的情况。例如s=2，这时级数变为

即全体自然数平方的倒数和。它的提出是在1644年，而最终在1735年由欧拉解决，当时欧拉只有28岁。为了纪念欧拉，人们把这个问题称为巴塞尔问题，巴塞尔是瑞士第三大城市，欧拉的故乡。

欧拉指出：这个级数的和是一个很奇怪的数字，与圆周率有关。

不仅如此，欧拉以及后来的数学家证明了：只要s>1，级数ξ(s)总是收敛的，也就是虽然项数有无穷多项，但是越往后数字越小，最后加起来是一个确定的数。

如果s<1，情况又是如何呢？有读者可能已经感觉到了：s<1的时候级数ξ(s)会比调和级数更大，调和级数都发散，那么s<1的时候自然更加的发散了！这是一个合乎情理的推理，但是常人不能理解的欧拉居然算出了s=-1,-2和-3时的级数和。

我们以s=-1为例。此时级数变为

为了计算这个和，欧拉首先计算了一个函数的幂级数展开式：

这个展开式的计算并不难，类似于等比数列求和的方法，我们后面会给大家介绍。从这个式子出发，欧拉把x=-1代入其中，得到

这个式子已经非常奇怪了，因为按照我们理解，等号右边应该如果两项两项的看，应该一直在增大才对，怎么会变为-1/4呢。

欧拉继续对这个内容进行操作：他把右边所有负的项放在一起，又进行了填补：

这样一来，就得到了全体自然数的和：

欧拉用类似的办法计算了全体自然数的平方和为零，全体自然数的立方和为1/120。

解析延拓

一边是越来越大的发散级数，一边是一个确定的数字，看似非常不合理。问题出在哪里呢？其实，欧拉的问题在于没有考虑收敛性的问题，也就是他将一个不在定义域范围内的数字代入了表达式。

为了能够理解这个问题，我们必须首先弄清楚一个概念：解析延拓。

如果有一个函数f(x), 它的定义域是A1，另外一个函数g(x)，定义域是A2，A1完全包含于A2，并且在A1的范围内，f(x)与g(x)完全相同，那么我们可以说g(x)是f(x)的延拓。我们用一个图表示出来：

有一个函数f(x)，它只在x取0.5到1之间的值时候有意义，超过了这个范围就没有意义了。另一个函数g(x)在x属于全体实数的时候都有意义，并且在0.5到1之间，两个函数完全重合，那么我们就称g(x)是f(x)的延拓。

如果仅仅是这个条件，那么延拓的方法有无穷多种，因为我们可以在f(x)的两边随意画出各种各样的曲线。但是人们规定了一个更强的条件：如果延拓之前的函数处处可导，延拓之后的函数也是处处可导，那么这种延拓称为解析延拓。如果可导这个概念不好理解，我们大致可以理解成“非常光滑”，我们常见的函数如三角函数，指数函数，对数函数等，都满足这个性质。虽然解析延拓的真正含义比这个复杂，但基本内涵就是这样。人们在研究过程中发现了一个结论：如果给出了一个解析函数，那么它的延拓方法是唯一的。

我们不妨来举一个例子：

这是一个等比数列求和，只有在-1<x<1的范围内才能求出一个收敛的结果，此时这个数列称为无穷递缩等比数列，就是一个比一个小的意思。他可以通过错位想减得到结果，即将等号两边同时乘x，得到：

再把这个数列与第一个数列做差，得到

这样我们就得到了

我们可以令

显然，如果单独看g(x)，它的定义域范围是x不等于1，比f(x)的定义域范围大。而且在-1到1之间，两个函数是完全重合的，这两个函数都是解析函数，于是我们就可以说g(x)是f(x)的解析延拓。

如果我们把x=1/2代入，那么无论代入f(x)还是代入g(x)，二者的结果都是相同的，因为1/2在两个函数的定义域范围里。因此

如果我们把x=2代入，那么f(x)就没有意义了，g(x)还是有意义的，显然此时二者不能相等。如果我们强硬的代入x=2并且还认为二者相等，就会得到：

这样荒谬的结论。

我们打一个比方：很多年前人和猴子都是一样的祖先，后来人进化了，猴子没有进化，相当于人进行了解析延拓。人进入课堂学习数学，就可以成为一个数学家，这必然是没有错，那么有人说猴子进入课堂也能成为数学家，这显然是不对的。

欧拉当时就没有搞清楚这个概念，所以得出了全体自然数的和等于-1/12这样奇怪的结果。

黎曼ζ函数

欧拉在1740年研究的这个问题，在一百年以后由德国数学家黎曼解决了。

黎曼对欧拉研究的数列

进行了解析延拓。欧拉研究的这个函数只有在s是实数，并且s>1时才是收敛的，但是如果进行解析延拓，那么它就可以在s是不等于1的全体复数的时候都有意义。实数对应数轴上的点，而复数对应复平面内的点。关于复数的含义和计算方法，请移步我的另一篇文章：最美公式——欧拉恒等式阅读。

（传送门：https://www.wukong.com/answer/6575143058856214787/?iid=44550281974&app=wenda）

黎曼函数有许多种形式，其中一种是：当s是一个复数且s不等于1时

由于s是一个复数，而函数的结果也是一个复数，它具有实部和虚部，所以我们要画出这个函数图像必须采用一种比较奇怪的方法：定义域着色。大概的意思是用不同的颜色表示一个复数的模和幅角。

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