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为什么ε-M定义可以描述函数极限存在？

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发布时间：2020-12-06加入收藏来源：互联网点击：

为什么ε-M定义可以描述函数极限存在？

回答于 2019-09-11 08:43:50

回答于 2019-09-11 08:43:50

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“ε-δ”方法

在讨论函数极限的时候，基本上都是使用 “ε-δ”的方法。而极限也是通过“ε-δ”方法定义的。

对于初学高等数学的同学来说，“ε-δ”方法求证函数极限是非常艰涩难懂的，需要很多题目的练习才能熟练运用。便于大家立即“ε-δ”方法，特意做了一个动图去解释一下。

图1：“ε-δ”方法

如图1所示，“ε-δ”方法的过程：

假设任意一个正数 ε；根据 |f(x) - A| < ε 和 f(x) 的定义求得 x 与 ε 的关系。最后，由 x 与 ε 的关系去推导出 δ。

注意点：一定是先假定 ε，再去推导 δ；反过来可不行。

左极限和右极限

图2：左右极限相等

如图2所示，在曲线上存在点A，点B和C分别从点A的右侧和左侧不断向点A逼近。

如果我们将点A强行分成 A-（A点左边）和 A+ (A点右边）。那么，点C不断逼近 A-，而点B不断逼近 A+。

因此，我们就定义 A- 为函数在点A的左极限，而 A+为函数在点A的右极限。而图2 正好是左极限A- 和右极限 A+相等。

左右极限有没有可能不相等呢？答案：当然有可能

图3：左右极限不等

图3中的函数是一个分段函数，表达式如下所示。

图3中函数

那么，在 x = 1时，函数是否存在左极限和右极限呢？

点C从 x = 1的左侧不断逼近点A，A点即为函数的左极限；点D从 x = 1的右侧不断逼近点B，B点即为函数的右极限；

大家应该发现了，在图3的情况下，左、右极限都存在，但是不相等。

定理：函数在 点a 处存在极限 limf(x) = A 的充分必要条件是点A处同时存在左、右极限，且左、右极限都等于A。

04 x趋于无穷大的极限

前面我们讨论了 x 趋向某一点时的极限问题，如果 x 的绝对值无限增大，那么这种情况的极限又是什么呢？




图4：无穷大处极限

在图4的函数 f(x) = 1/x 中，点A和B分别向 x轴 +∞ 和 -∞ 方向运动。同时，我们看到点A和B不断逼近 x轴。由此，我们可以得出以下结论：

和大家一起回顾了函数的极限问题。对于怎么求函数的极限，我们会在后续的文章中一一给出讲解，大家先将极限的知识给理解通透了即可。