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如何证明圆形是同等周长的平面图形中面积最大的？

图形,面积,周长如何证明圆形是同等周长的平面图形中面积最大的？

发布时间：2020-12-06加入收藏来源：互联网点击：

如何证明圆形是同等周长的平面图形中面积最大的？

回答于 2019-09-11 08:43:50

回答于 2019-09-11 08:43:50

简单给一个另外的证明思路：

1、假设给定一周长，也即给定一简单封闭曲线围住一面积，构成一平面图形。（容易证明凹图形面积小于凸图形，所以只需考虑凸图形）

2、在该平面图形内部，任取一点O；然后在周长上n等分，得n个点，分别与点O连结。这样可将面积分割为n个近似三角形的和。随着n的值趋向于无穷大，所分割的图形将越严格接近于三角形。

3、然后求所有三角形面积的和。这是一个简单基本的积分运算。这样就得到了一个通行的所有简单封闭曲线围成的凸图形面积的公式。

4、再求给定周长情况下，求由积分公式所确定的面积的最大值。我们会发现在每个三角形全等的情况下面积最大。而圆其实可视为一个无穷多边的正多边形。因此圆是同等周长下面积最大的平面图形。

（根据lxgwm2008意见补充修正）

回答于 2019-09-11 08:43:50

先说思路，不涉及任何数字和公式。

假设有一个任意图形，取两点把周长截成相等的两部分，连接两点。如果两边面积不一样大，那么就把小的一边按大的一边做对称变换，因为等分周长外加共用边，这个拓扑变换很容易理解，结果就是轴对称图形的面积更容易变大。

改变两点的位置，再做一次对称变换，面积再增加一些。也就是说对称轴越多，面积可以越大。

再考虑中心对称的情况。

取若干点等分周长，与图形内任一点连接，构成若干“扇形”。如果这些扇形面积不相等，那么其它扇形就按照面积最大的做拓扑变换，可使得面积增大。结果就是具有旋转不变性的图形面积更大。

重复以上步骤，旋转不变角越小，面积越大。




综合轴对称和中心对称两种情况，圆具有无限多的对称轴和无限小的旋转不变角，所以圆是面积最大的图形。

回答于 2019-09-11 08:43:50

这个问题需要用到对称性和一点点微积分的思想。大概分成以下步骤：

第一步：对于给定周长的最大面积图形S，对于任何一条可以等分周长的直线段，我们称为“径”，容易看到，任何一条径都会同时等分S的面积。否则我们只要把面积较大的那一半翻转过来替换，就可以得到一个等周长的更大面积的图形，和S的定义矛盾。

第二步：很显然，由一可知，任何两条交叉“径”分割的对面两个扇面必然面积相等。

第三步：任意两条“极”相邻的径（夹角极小）交点为径的中点。这个由二可知，同时需要用到图形连续性的特征。

第四步：反证所有径长相等：否则取最短径d，考察邻域，如邻近的径更长，则可以把d“拉长”，使周长更小，面积更大。

第五步：由三四推论所有径等长且交于中点，此时所有交点重合，称为“心”，所有方向上半径相等，所以就是圆

回答于 2019-09-11 08:43:50

不知我这么想可不可以，

通过分析可以知道，该图形上每一个点和唯一对应的点使得这两个点等分周长的同时等分面积，（反证法，若不等分，对大面积做镜像），然后可以证明是轴对称图形，且每一组对应两点的连线都是对称轴。如果不是轴对称图形，其充要条件是至少有两个点连线的垂分线m与其他点的垂分线n不重合。命名这两个点AB，并且坐AB两点关于n的对应点ab，如果b图形外，那么用b代替A围成的面积更大，若b在图形内，则a在外部，可以用A代替B，所以有无数条对称。有且仅有圆……

回答于 2019-09-11 08:43:50

由于我没学会如何在这里画图，所以我的目的只能限定以最简洁的语言概述此问题。概述就不可能细致周详。读懂以下文字，需要不低于初中几何的水平。

一) 连接图形上两点的线段定义为弦。平分图形周长的弦定义为直径。

二) 我们所想得到的图形必须满足：

A) 直径必定平分其面积。

否则，我们把面积较大的一半图形依直径作轴对称以替代面积较小的一半，所得新图形比旧图形面积增大而周长不变。

B) 图形上任意一点P与任意直经两端AB连线构成三角形中，角P必为直角。

否则，弓形AP与弓形BP形状不变，而仅仅变角P为直角即可增大△ABP的面积，也增大了原图形面积。请注意到两个弓形面积不变，而所对直径长度会改变，但总图形周长却不变。

而满足A)、B)两条件的平面图形必定是圆。

抱歉。请各位自行画图。

我读过了其他的回答，都很不错。致敬！但有的需要读者有高起点。还有的多了(比如图形的凹凸，已经含于此答案的B)条件了)。