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怎么证明三角形的三条垂线交于一点？

角形,钝角,锐角怎么证明三角形的三条垂线交于一点？

发布时间：2020-12-06加入收藏来源：互联网点击：

怎么证明三角形的三条垂线交于一点？

回答于 2019-09-11 08:43:50

回答于 2019-09-11 08:43:50

如图，BE垂直于AC AD垂直于BC证明CF垂直于AB

角AEB=角ADB所以ABED共圆。所以，角ADE=角ABE

同样，ODCE也共圆。所以角ADE=角OCE

所以角ABE=角OCE 角A=角A 所以AFC等于角AEB ＝90。

回答于 2019-09-11 08:43:50

用穷举法证明如下：一，直角三角形三边高交于直角这一点显而易证。二，锐角三角形ABC中，分别作CD垂直AB交AB于D，AE垂直BC交BC于E，且AE交CD于G。则三角形ADG相似于CEG相似于CDB。故有AD*BD=CD*GD。再作BF垂直AC交AC于F，且交CD于G1，同理有：BD*AD=CD*G1D。从而G1与G重合。所以，锐角三角形的三边上高交于一点（G）。三，从锐角三角形的证明中，得出三角形AGB是钝角三角形，G为钝角，AC与BC分别是BG与AG上的高，那么，过C作CD垂直AB交AB于D，则CD必经过G点（锐角三角形已证明这个性质）。从而证明钝角三角形三边之高也是交于一点的（钝角这个点）。

回答于 2019-09-11 08:43:50

连接CO并延长交AB于点F 求证：CF⊥AB证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90°，且在AB同旁，∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE （同弧上的圆周角相等） ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC =Rt∠ ∴△AEO∽△ADC ∴AE/AO=AD/AC