您现在的位置: 首页 > 网站导航收录 > 百科知识百科知识

椭圆面积公式(牛顿与开普勒，微分方程中看天体运动)

物体,方程,导数椭圆面积公式(牛顿与开普勒，微分方程中看天体运动)

发布时间：2016-12-08加入收藏来源：互联网点击：

因为z将保持为0，并且我们在处理一个旋转的问题，使用柱坐标再合适不过了。清楚起见，我们仍然需要在柱坐标中定义x轴和y轴，但不会被涉及到它们的计算中。因为我们选择了柱坐标，位置被定义为

你可以通过在笛卡尔坐标系中展开来验证。

求位置的二阶时间导数，有

因为是柱坐标，因此ρ和φ基向量不是常量，这意味着我们也要对它们求时间导数。

惯性力

在任何加速的坐标系中，必须引入加速度项（惯性力）来抵消坐标系的加速度。在我们的例子中，有两个惯性力:

离心加速度科氏加速度

虚力

惯性力也被称为虚力，因为这些力与物体之间正常的相互作用无关。

举个例子，离太阳系最近的恒星大约在4光年之外。如果定义我们的坐标系统与地球一起旋转，那么这颗恒星将以大约10000倍的光速运动，并具有相同量级的恒定加速度。即使不考虑相对论，这个结果也是荒谬的（与任何物体都没有物理上的相互作用，却有巨大的速度和加速度）。

但如果我们让x轴从地球指向恒星，恒星就不会移动，也不会有加速度。

话虽如此，我并不喜欢“虚力”这个名字，因为它会让人产生一种错误的印象，认为它们不能代表真实的东西。例如，当汽车加速时，一个虚力会把你推向座位上，所以它并不总是“虚”的。

惯性力是非惯性参照系的产物，它们出现在了加速度项中。所有的惯性力都与物体的质量成正比。

步骤3：在柱坐标中写出引力

我们已经把质量和引力分开了，所以只需考虑加速度。我们必须把重力加速度转换成柱坐标

步骤4和步骤5：设力的两个定义相等，并比较基向量

现在可以找出具有相同基向量的项，这可以帮助我们将它们与柱坐标下牛顿引力进行比较

这个结果给出了两个运动方程。第三个运动方程是z(t) = 0。

角运动方程

根据一阶微分方程的知识，我猜这个方程是两个函数乘积的时间导数。我们从标准乘积法则开始

在这种情况下，可以让g(t) = φ ' (t)。为了让它成立，我们需要将方程乘以某个函数μ(t)

解出这个方程

函数μ(t)被称为积分因子。如果你不知道，我建议你开始学习微分方程微分方程第一步，吃透基本概念——复数，多项式方程及矩阵理论。把所有东西都代进去

这意味着f(t) g(t) = ρ^2φ '。我们试着对ρ^2φ '求导

这个结果似乎是成立的，我们已经将方程简化到可以对两边积分的程度

你怎么知道它是一个乘积的时间导数的？

求解微分方程，首先要猜测解的形式，看看能不能解出来。如果不能，再另一种形式。令人恼火的是，许多关于微分方程的课程（资源）只给出了可行的猜测，这就给人制造了一种错觉，以为某些作者（编者）一下知道了解的形式。现实中，他们尝试了各种形式的函数，直到得出正确的解。

角动量守恒

我们要加一个常数，但应该加什么常数呢？在本文的前面，我提到了角动量，但没有计算它。现在计算它，得到

角动量等于质量乘以ρ^2φ '（在z方向上）。因此，C=L/m。此外，角方程还可以帮助我们解径向方程

要清楚的是，我们还没有解出角方程，但是我们可以用它来去掉径向方程中的一些烦人的因素。

开普勒第二定律

在讨论径向方程之前，我们先来推导一下开普勒第二定律。我们知道函数ρ(φ)在两个角度φ_1和φ_2之间的面积是

让τ表示它达到φ_1和达到φ_的时间间隔。如果我们做u代换，有

从角方程，我们知道ρ^2φ ' = L/m，所以可以把它代入积分

注意，除了从一个角度到另一个角度所需的时间是τ外，我们没有对这两个角度做任何说明，这就证明了开普勒第二定律。

径向方程

把角方程的解代入得到

这个方程和伯努利微分方程很相似。非线性项的二阶导数会引入无法抵消的项。为了解决这个问题，我们将放弃寻找ρ(t)和φ(t)的封闭解，而尝试寻找它所走的路径，ρ(φ)。

追踪路径vs.位置的时间函数

为了强调这一区别，我们可以考虑一些以不同方式在赛道上前进的人：

开赛车，骑自行车，步行，在赛道上走了一半，然后转身，

所有这些都可以有不同的ρ(t)和φ(t)，但它们都有相同的ρ(φ)。同样地，只要知道ρ(φ)，太阳系中的行星和其他天体就有可能以随机的速度运动，旋转，甚至是瞬移，只要它们一直在轨道上。为了确定行星的运动方式，我们还需要φ(t)，这可以从角方程中得到，目前还没有解出来。

伯努利方程

在伯努利方程中，我们会猜想ρ(t)是α(t)的幂

如果求一阶导数

这个表达式看起来没什么问题，我们来求二阶导数

正如你所看到的，有一个导数的平方，它阻止了我们求出闭合解。我们还没有设n的值，所以看看是否可以将它设为某个值，以去掉平方导数。如果n = 0或n = 1，就可以消去平方导数，但也会把有用的东西消去。我们注意到平方导数来自于一阶导数中的α项，所以看看能不能去掉它。我们用链式法则把dα/dt写成(dα/dφ) (dφ/dt)。从角方程，我们知道dφ/dt = L/(m ρ^2)，从α的定义，有

为了消去α项，需要- n - 1 = 0，也就是n = - 1，这就得到

现在，我们可以求二阶导数

我们用了和上面一样的技巧，把所有东西都写成φ的形式。把这个方程和α的定义代入径向方程，得到

该微分方程是一个标准的二阶线性微分方程，我们可以用多种方法求解。这篇文章已经很长了，我们直接写出解

选择坐标轴

前面提到过，在得到解之前，x轴和y轴并不参与计算，我选择它们使sin项消失而cos项保留。这样，我得到了α(φ)的一个更简单的方程

我们要找的不是α(φ)而是ρ(φ)，根据α的定义，有

可以把它提出来，得到一个焦点在原点的圆锥曲线的标准形式。

圆锥曲线是通过切割圆锥得到的形状

圆（ε = 0）椭圆（0 < ε < 1）抛物线（ε = 1）双曲线（ε > 1）

特别值得注意的是椭圆。请注意，抛物线和双曲线都将走向无穷远，所以任何沿着抛物线或双曲线轨道运行的物体都不会留在太阳系中。然而，这些行星仍然存在于太阳系中，这意味着它们要么是圆形，要么是椭圆形。因为圆只能在ε的一个值出现，所以几乎肯定会得到一个有界轨道的椭圆。换句话说，我们已经证明了开普勒第一定律。

位置作为时间函数的闭合解

我们可以把ρ(φ)代入角方程得到

这个方程的解至少需要，椭圆积分。你不会从这个方程中得到一个封闭的解。

轨道的特点

现在，我们来计算一些关于轨道的事实。我们想知道一些有用的信息，比如两个物体之间轨道的最远点和最近点。我可以看到最大值和最小值出现在

半长轴和半短轴

 2/3   首页 上一页 1 2 3 下一页 尾页