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椭圆面积公式(牛顿与开普勒，微分方程中看天体运动)

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发布时间：2016-12-08加入收藏来源：互联网点击：

本篇文章主题：量子力学之路（2）——开普勒与牛顿

量子力学之路——坚实的数理基础至关重要，没有捷径可走


这篇文章将比一般文章更长，因为我要建立牛顿力学和天体力学。我要提前提醒你们，这个推导过程会很繁琐，但不会跳过重要步骤，并且在逻辑上尽可能地少一些不直观的跳跃。

本系列将对物理学中的重要概念进行大量解释。不幸的是，要找到帮助我写本系列文章的资源很困难。某些主题和推导的基本步骤在大多数资源中被省略，特别是在经典力学中。

自我检查一下，是否能理解或解决一下的几个问题：

1、开普勒第三定律

利用椭圆面积的公式和开普勒第二定律的形式来推导开普勒第三定律。需要解出角动量，万有引力常数，太阳的质量，物体的质量，偏心率，角动量的长半轴方程。

2、正圆

找出轨道为正圆的条件。换句话说，使ρ为常数。

3、多体和质心

假设有N个相互作用的物体遵循牛顿运动定律。表明质心以恒定速度运动。

4、齐奥尔科夫斯基火箭方程

假设在太空中有一枚火箭，附近没有任何东西，也没有空气阻力。它通过在尾端排放恒定速度（ve）的尾气来运动。如果开始的质量是M，结束的质量是m，求出总的速度变化量。你可以假设火箭不会转动，但要注意动量必须守恒而且火箭的质量随时间变化。

天体力学

自古以来，人们就一直在研究恒星。对古代的天文学家来说，大多数恒星并没有相对运动。而且古代的天文学家相信地心说，他们能够提出公式，以合理的准确性预测天体的路径。这个公式后来被证明是一个早期的傅里叶级数的例子。

这些复杂的公式与数据吻合得很好，但没有任何解释。然后是尼古拉·哥白尼，他提出了日心说模型。他的模型在概念上比托勒密的模型简单。这是朝着正确方向迈出的第一步。在仔细研究了这些数据之后，约翰内斯·开普勒提出了他的开普勒行星运动定律：

每颗行星的轨道都是一个椭圆，太阳是椭圆的两个焦点之一。在相等的时间间隔内，连接行星和太阳的线扫过的面积相等。一个物体的轨道周期的平方与其轨道长半轴的立方的比率是相同的所有物体围绕同一主轨道运行。

艾萨克·牛顿

根据开普勒定律，我们知道行星是怎么运动的，但不知道为什么会这么运动。这需要几位科学家的努力，最著名的是艾萨克·牛顿，提出了一个完整的解释。在开普勒之后的几十年，牛顿发表了他的《自然哲学的数学原理》(简称《原理》)，其中有三个基本的命题：

牛顿的三大运动定律。地球上的物理定律可以应用于天体。重力是一种引力，作用于所有质量之间，与物体的质量成正比，与物体之间距离的平方成反比。

根据这三个命题，牛顿能够解释开普勒定律和许多其他物理学上的其他问题。

动量

现在我们已经了解了一些历史信息，让我们来看看动量。在经典力学中，动量是一个矢量，等于物体的质量乘以它的速度。牛顿的三个运动定律都是关于动量的表述。

牛顿三大运动定律

运动中的物体将保持运动状态，除非受到外力的作用。力是动量的时间导数。每一个力都有一个大小相等、方向相反的反作用力。

第一定律说，一个不与其他物体相互作用的物体将有一个恒定的动量，因此有一个恒定的速度。第二定律定义了力如何改变物体的动量。它比第一定律更普遍，但牛顿明确指出，第一定律是对亚里士多德物理学的直接回应。最后一个定律保证了如果两个物体相互作用，那么它们动量的总和将是守恒的，即使它们各自的动量可能不守恒。

牛顿万有引力定律

这是一个很好的公式，但它缺乏坐标信息和方向。我们可以把牛顿的万有引力定律写成

其中F_21是第一个物体对第二个物体的作用力，G是常量，m_1和m_2是两个物体的质量，s_1和s_2是两个物体的位置，|s_1- s_2|是两个物体之间的距离。从数学上讲，s_1- s_2表示从第二个物体的位置到第一个物体的矢量，矢量的大小用绝对值表示。这个表达式看起来很奇怪，因为分母是距离的3次方。但是分子式中的s_1- s_2也是距离单位。对于作用在一个物体上的总力，我们可以把每一个物体对第一个物体施加的力加起来。

推导开普勒定律

用牛顿力学和牛顿万有引力定律来推导开普勒定律。要做到这一点，我们需要找出运动方程，这是一组描述物体如何作为时间的函数运动的微分方程。在牛顿力学中，要找运动方程需要

找出所有作用在物体上的力，求出坐标系中的加速度，把第一步中的力写成系统中每个物体的位置和速度的函数，让置步骤2和步骤3的结果相等，匹配基向量的系数。

这样，你以得到每个物体的三个微分方程（如果考虑到力矩，还可以得到一些额外的方程）。

步骤1：寻找力

让我们从太阳系中的任意一个天体开始。根据牛顿万有引力定律，有

如果代入一些数字，会发现可以忽略除太阳以外的所有项。例如，太阳对地球施加的力是月球对地球施加的力的177倍。木星对土星施加的力，是除太阳以外的任何两个物体之间最强的力，它只占土星和太阳之间力的0.5%左右。

只要考虑太阳对任意物体施加的力

根据牛顿第二定律，有

假设物体的质量是恒定的

初步的简化

至此，我们已经知道了运动方程，但还可以做一些简化。首先，注意到太阳比太阳系中任何其他物体的质量都大得多。根据牛顿第三定律，尽管两个物体受到的力是相同的，但太阳的移动要比其它物体小得多。这样，我们可以将坐标系统的原点设置在太阳的中心，这意味着太阳的位置是零矢量：

如果用笛卡尔基向量写出物体的位置，有

角动量

我们要让其中一个坐标为零。假设z = 0。根据上面的方程，物体在z方向上不会受到任何力，因此也不会有加速度。如果z方向的速度也是0，那么z将保持为0。

我们总是可以选择坐标轴，使z方向上的位置和速度总是为零（让z轴垂直于初始速度和初始位置）。为了做到这一点，我们使用向量积（外积、叉积），得到一个垂直于另外两个三维向量的三维向量。两个向量的向量积的长度与这两个向量的长度以及它们之间夹角的正弦有关。

如果我们取物体的位置矢量和速度矢量的向量积，然后把结果乘以质量，就得到了角动量，它有类似于动量的性质，但是是围绕着一个点旋转而不是平移。我们稍后会看到，开普勒第二定律是角动量守恒的结果。现在，我们要用它来定义z基向量。

步骤2：在柱坐标中寻找加速度

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