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lnx的泰勒展开式-lnx的泰勒展开式是什么
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发布时间:2019-02-08加入收藏来源:互联网点击:
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柳暗花明又一村
——读《素数之恋》有感
作者:王进
作品编号:016
投稿时间:2019.7.12
对自然数的研究可能诞生于文明开始之时,之后,人们学会了分类,把除0,1外的自然数按因数的多少分为了素数和合数,于是,很多数学家便踏上了一个艰苦而美妙的漫长旅程,即对素数分布之谜的探索。
从古希腊先哲欧几里得对素数无穷多绝妙的反证法,到20世纪70年代比利时数学家德利涅证明了代数上的韦伊猜想,再到同时期蒙哥马利-奥德利兹克定理,《素数之恋》讲诉了素数的前世今生。本书的作者是美国数学科普作家约翰·德比希尔(John Derbyshire),他以丰富的学识和严谨的态度写出了这部科普书籍,全书几乎不涉及到高等数学和复变函数,并不时出现幽默的话语,极大的改善了本书的可读和扩充了它的阅读对象。
小学我们就接触到了素数,很多人也听到过一个在中国很知名有关于素数的猜想——哥德巴赫猜想,但是在数学家眼中,关于素数更重要的问题是黎曼猜想,而这个问题,也是《素数之恋》从始至终贯穿的主题。在古希腊爱琴海灿烂的阳光下,数学家们便对素数有了不少认识,欧几里得利用所有素数连乘再加一,巧妙的反证了素数个数必为无穷,简洁漂亮令人赞叹。全书第一章始于一个有趣的“纸牌游戏”,两张纸牌叠在一起,上面一张纸牌最多可以推多远而不掉下来,答案显而易见是1/2个纸牌宽度,如果是三张叠在一起,最上面那张纸牌显然最多可以推1/2+1/4个宽度,如果是有n张呢,那可以推1/2+1/4+1/6+···+1/2(n-1)个宽度,这个距离是无穷大吗?显然,提出公因子1/2,学过一点微积分的人都知道这是非常特殊也很重要的一个级数,称之为调和级数。调和级数是不收敛的,也就是当n趋于无穷大时,这个式子的值也趋于无穷大,但是,虽然它的值是发散的,但增加的非常之慢,100张纸牌的总伸出量约2.58869个纸牌宽度,而10000亿张纸牌也仅仅只能伸出约14张纸牌的宽度。读到这里,包括我在内的很多读者或许都会有这样一个疑问,调和级数会和素数有啥关系?而他们的联系,正是暗合了我的标题,柳暗花明又一村,表面上似乎没什么联系的东西有时候也会蕴含有巨大的能量。
黎曼
任何牵涉到素数的问题一不下心都会变得巨难无比,可能是因为对素数的很多质人们还不太清楚,在漫长的数学历史中,第一次对素数的认识取得很大突破的是素数定理(PNT)的发现,而素数定理也是本书前半部分花了很大篇幅讲述的,直接发现素数的分布规律似乎很难,那能不能发现其他不那么精确的统计规律呢?有下面一张表:
从上面的这张表能发现什么呢?可能我们一般人看到都会一头雾水,但是高斯、勒让德等人就从中发现了天机。那就是小于N的素数个数是服从规律的,如下表所示:
此时已经很明朗了,lnN与N/π(N)的大小很接近,写作lnN ~ N/π(N),改写一下,就是素数定理:
素数定理另一个更重要误差更少的表达:
素数定理当时被高斯、勒让德发现时,还是猜想,之后正是在黎曼猜想的启发下证明了素数定理,由此可见黎曼猜想的威力。
现在回过头看前面提到的调和级数,此时开始由此级数引出的一些东西开始展露出巨大的力量。调和级数确实不收敛,但他收敛的如此之慢,事实上,他和lnx的大小差不多,将调和级数稍作扩展,有这样一类在国内工科高数课本上称之为p级数的重要级数,
现在我们知道p≤1(等于1时是调和级数)时级数发散,p>1时级数收敛。1735年,年轻的欧拉做出了他生涯第一个大的成果,解出了著名的巴塞尔问题(即p=2时)的准确值,结果竟然是惊人的
。稍微扯远一点,笔者第一次在高中竞赛书上看到这个结果时,感到十分的惊奇,和圆根本无关的问题居然会出现π,之后知道泰勒级数后,才明白得出这个结果需要涉及到三角函数,于是,π的出现也不算惊奇了。看,又是两个表面上无关的东西产生了很深的联系。巴塞尔问题打开了通往黎曼ζ函数的大门,而黎曼ζ函数就是黎曼猜想的关注对象。下面就是黎曼ζ函数:
当然,此时这种表达式s的定义域并不是所有的复数甚至不是所有的实数,例如,当s为负数时,就不能简单的由上式计算,不过可以看到,在某个定义域上(复平面实部>1的区域),黎曼ζ函数就是这么简单,有时候,可能最简单就是最复杂。
欧拉
那么,黎曼ζ函数和素数有什么关系呢,作者德比希尔循循善诱,花费了几乎大半部分书的内容来仔细说明了它,通过“金钥匙”(欧拉乘积公式),黎曼ζ函数与素数产生了联系,如下就是这个金钥匙:
上式中,p是指素数,这个式子是通过巧妙的埃拉托色尼筛法得出的。
在金钥匙中,黎曼ζ函数与素数建立了关系,但是之后如何使用呢,欧拉的工作就到此为止了,作为复分析的创始人之一,黎曼以其惊人的才华将黎曼ζ函数的定义域扩展到了整个复数,然后提出了著名的黎曼猜想。
黎 曼 猜 想
ζ函数的所有非平凡零点的实部都是1/2
在此我不将黎曼ζ函数在整个复数域上的式子写出来,事实上全书也没有给出那个表达式,那个式子有点吓人,已经超过了大多数人的理解范围。每一个负偶数,如-2,-4,-6,-8等都是它的零点,这不是黎曼猜想需要考虑的,按专业术语,这些是平凡零点。除去这些实数的零点,其他复数形式的零点正是黎曼考虑的,黎曼猜想正是说明了所有那些非平凡零点都在复平面实部为1/2的那条直线上,都有形如1/2+a*i的形式,事实上,前三个非平凡零点是1/2+14.134725i,1/2+21.022040i,1/2+25.010856i,确实都是这种形式。下图显示了在临界线(实部为1/2的那条线)从a=0向上时,黎曼ζ函数的函数值,从ζ(1/2)即最左边的约-1.46035处开始出发,开始连续不断画出类似圆的曲线不断穿过零点的样子。
图1 临界线上的那些点的函数值
临界线上是不是包含有所有的非平凡零点呢(即黎曼猜想)?我们不得而知,不过在1914年,哈代(就是赏识了传奇数学家拉马努金的那位)证明了ζ函数确实有无穷多个零点在临界线上。我们知道了“金钥匙”,知道了黎曼ζ函数,进一步知道了黎曼猜想,可是我们还是不知道黎曼猜想和素数的分布有什么关系,在1901年,就是证明PNT后的五年,瑞典数学家冯·科赫(Helge von Koch)证明出了一个结果,如果黎曼假设成立,那么有:
上式中,O是确定函数界限的一种方式,由此可以看出,黎曼猜想对素数定理的余项给出了一个很精确的估计,素数定理只是黎曼猜想一个弱的推论。
作为一篇读书感言,本应该更通俗简略的讲述一下文章内容就可以了,不过本书作为一篇极优秀的科普类文章,如果不把里面的精华拿出来说一下那太可惜了,没办法,必须涉及到一些微积分知识,接下来,让我们拧动金钥匙,走进1859年黎曼论文的核心。
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