您现在的位置: 首页 > 网站导航收录 > 百科知识百科知识

策梅洛定理(策梅洛定理与生活)

公理,数学,希尔伯特策梅洛定理(策梅洛定理与生活)

发布时间：2019-02-08加入收藏来源：互联网点击：

与之相反，如果承认选择公理，那么某些得到证明的定理至少是违 反直觉的。著名的“巴纳赫-塔斯基悖论”（Banach-Tarski paradox）即是其中之一，其可以描述如下：两个实心球体，一个大小与篮球相仿，另一个大小与地球一样，它们能够分别被分割成互不重叠的有限份，而且使得大球体的每一份与小球体的每一份对应全等。或者也可这样描述：可以把整个地球分成有限份，然而重新拼装成一个篮球大小的球体。在1914年发现的这个悖论的一个特例表明，一个球面可以分割成两部分并重新组合成两个完整的球面，每个新球面的半径都与原球面相同。与19世纪集合论碰到的悖论不同，这些新发现的悖论并不存在矛盾，它们只不过是集合论公理与选择公理的逻辑推论。

否定一般化的选择公理也导致了新奇的结论。一个技术结果或许对专家们更有意义，即每个线集合都是可测的。换言之，既然选择公理蕴涵着不可测集合的存在，那么通过假定每个线集合都可测就能否定选择公理。此外还有关于超限基数的新奇结论。至于连续统假设，无论承认它还是否认它，人们都冒着进入未知领域的风险。可是，有意义的结论迄今没有得到。然而，一旦假定

，那么每个实数集合就都是可测的了。当然，还可以推导出其他的新结论，可是它们都不甚重要。

就像对平行公理的研究将几何学领到了一个十字路口那样，科恩对这两个有关集合的公理所做的工作将以集合论为基础的数学也领到了错综复杂的交叉路口。这开创了数学的几个发展方向，但却没能给出任何 明显的理由来说明哪个更为优越。事实上，自从科恩1963 年的工作以来，人们在策梅洛 - 弗伦克尔集合论中发现了众多不可判定的命题，使得人们对选择（使用基本的策梅洛-弗伦克尔公理再加入一条或多条不可判定命题）的多样无所适从。选择公理和连续统假设的独立证明就好比告诉一个建筑师，只要稍稍改动他的图纸，就可以用一个城堡取代他原来要建造的办公楼。

当前集合论的研究者希望他们能按照某种可靠的方式修改集合论公理，借此能确定是否可以从一组为数学家们广泛接受的公理出发推导出选择公理以及连续统假设。按照哥德尔的观点，这些可能应该是可以实现的，为此人们已付出了巨大的努力，但迄今为止没有成功。或许在未来的某一天，对于使用什么样的公理最终会取得一致的意见。

困扰数学家们的并不仅仅是哥德尔、丘奇以及科恩的工作带来的问题，数学家们的麻烦与日俱增。由勒文海姆1915年开始的通过在1920年到1933年之间斯科伦发表的一系列论文得以简化和完成的一项研究，揭示了数学结构的又一缺陷，这就是为人们熟知的“勒文海姆-斯科伦定理”（ Löwenheim-Skolem Theory）。设想人们为数学的某个分支，或者说就是为可以作为整个数学的基础的集合论建立了合乎逻辑的数学公理。对此，最合适的例子莫过于用于整数的那组公理了。人们希望这些公理能确定整数的全部特，并且仅仅是这些特。然而奇怪的是，人们发现可以找出截然不同的解释或模型都能满足这些公理。因此，鉴于整数集是可数的，或者按照康托尔的记法，存在

个整数，则存在着与整个实数集合（甚至在超限的含义上更大的集合）同样多元素的集合的解释。同理，相反的现象也可能出现，也就是说，假设人们承认了关于集合论的某个公理系统，进而还希望这些公理可以容纳并且的确能描述不可数集族的全部特。然而，人们却发现了满足这个公理系统的可数集族以及其他一些与人们的常识非常不同的超限解释。实际上，每一个相容的系统都存在着相应的可数模型。

这意味着什么呢？假定人们打算开列一张特征表，并认为它是且仅仅是刻画了美国人，令人吃惊的是，某人发现了一种动物，它具有表上所列的全部特征，但完全不同于美国人。换言之，试图用公理系统来描述一类唯一的数学对象事实上是不可能做到的。就像哥德尔不完备定理告诉人们的，一组公理对于证明属于它们所覆盖的数学分支的全部定理是不充分的那样，勒文海姆-斯科伦定理告诉人们，一组公理能够容许比人们预期多得多的解释，而且这些解释具有本质的区别。公理没有限制住解释或是模型。因此，数学的真理不可能严格地与公理化一致。

非预期的解释之所以可能，原因之一在于每个公理化系统内部都有无定义的概念。先前人们认为这些概念是被公理隐含地加以定义的，可事实上公理并没能做到这一点。因此，无定义概念的概念必须以某种非预期的方式加以更改。

勒文海姆-斯科伦定理与哥德尔不完备定理同样惊世骇俗。对于 发端于20世纪初的公理化方法而言，它无疑是另一次沉重打击。直到不久前，公理化仍被认为是唯一可靠的方法，而且仍被逻辑主义者、形式主义者和集合论公理化主义者使用着。

从总体上来看，勒文海姆-斯科伦定理并不出人意料。哥德尔不完备定理表明每个公理化系统都是不完备的，即存在着不可判定的命题。假定 P 就是一个这样的命题，那么不管是P 还是非 P 都不能从这些公理中推导出来。因而，人们可以接受一个更大的公理系统：原来的公理集合加上命题 P 或是命题非 P。由于解释不会是同构的，所以这两个公理系统也不是无条件的，也就是说，不完备是有条件的。但勒文海姆-斯科伦定理是以一种更强硬也更根本的方式否定了无条件。它证实了对于一个给定的公理系统，可以存在完全不同的解释或模型，而这无须加入任何新的公理。当然不完备是必须的，否则的话，完全不同的解释是不可能的。此外，为了不被所有的解释所共同包容，关于某个解释的一些有意义的陈述也必定会是不可判定的。

经过对自己的结论再三考虑之后，斯科伦在1923年的一篇论文中表示，对于把公理化方法当作集合论的基础他是持反对意见的。即便是冯·诺依曼也在1925年表示赞同他的公理以及其他关于集合论的公理系统全都注明“不真实的标记……集合论不可能无条件地公理化……既然算术、几何等不存在公理体系，而对集合论却没有这样假定，那么也就必定不存在无条件的公理化无穷系统”。这一情况，他继续写道，“对我而言，是有利于直觉主义的又一论据。”

数学家们试图通过回想非欧几何的历史使他们自己平静下来。在关于平行公理争论了几个世纪之后，罗巴切夫斯基和鲍耶创立了他们的非欧几何，黎曼也给出了另一个几何学。数学家们起初倾向于抛弃这些新生的几何学，这有若干理由，其中之一是它们必定是不相容的，可后来的解释表明它们是相容的。例如黎曼的双椭圆几何学，与人们开始的意愿（应用于普通平面的图形）完全不同地按照球面上的图形得到了解释。然而，这个解释或模型的发现是受欢迎的，它证实了相容。而且黎曼最初的期望与后来的解释在研究对象的数目上并没有什么不同，无非是点、线、面、三角形等等而已。用数学的语言来讲，这两个解释是同构的。然而，勒文海姆 - 斯科伦定理所适用的公理系统的不同解释并不同构，它们是完全不同的。

 4/6   首页 上一页 2 3 4 5 6 下一页 尾页