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策梅洛定理(策梅洛定理与生活)
公理,数学,希尔伯特策梅洛定理(策梅洛定理与生活)
发布时间:2019-02-08加入收藏来源:互联网点击:
在经历了严酷的1931年之后,进一步的进展使情况更加复杂,进而挫败了任何定义数学及何为正确结果的企图。但其中的一项工作还是值得一提。根岑,希尔伯特学派的一员,他放宽了在希尔伯特元数学中对证明方法的限制,例如使用超限归纳法,在1936年设法确立了数论和分析中一些受限制部分的相容。
根岑的相容证明为一些希尔伯特主义者支持和接受,他们认为根岑的工作并没有超出人们乐于接受的逻辑的限制。于是为了捍卫形式主义,人们必须从有限的布劳威尔逻辑发展到超限的根岑逻辑。根岑方法的反对派争辩说:“可接受”的逻辑是如此深奥莫测,而且我们对算术相容的怀疑竟然可以用同样值得怀疑的元数学原理来消除,这太不可思议了。事实上,早在根岑之前,对于超限归纳法的使用就有过争论,并且一些数学家尽量在任何可能的场合从证明中消除它。这不是一个直觉上使人信服的原理,正如外尔评论的那样:这样的原理降低了有效推理的标准,并且把原本可靠的东西变得模糊了。
哥德尔不完备定理引发的附属问题同样应当提及。既然无论多么错综复杂的数学分支都有不可判定的断言存在,那么我们对某一特定断言能否判定呢?这就是著名的判定问题(decision problem)。它要求一个有效的程序如同计算机一样,能在有限次步骤之内判定一个陈述或一类陈述的可证。
为了具体化一个判定程序的概念,让我们考察一个很普遍的例子。为判定一个整数是否能被另一个整数整除,可以进行除法,如果没有余数,回答就是能。这同样适用于对多项式的整除的判定。类似地,对于判定方程 ax + by = c 是否有整数解,同样存在一个明确的方法(这里a, b,c 是整数)。
在1900年巴黎国际数学家大会的著名演讲中,希尔伯特提出了一个非常有趣的问题:人们能否通过有限步骤判定丢番图方程是否有整数解 (希尔伯特第十问题)。由于方程ax + by= c 涉及两个未知数且解必须为整数,所以它属于丢番图方程,而希尔伯特第十问题则更加一般化。在任何情况下判定问题都大大复杂于希尔伯特第十问题,但人们往往喜欢称这一类判定问题为希尔伯特第十问题,因为在希尔伯特问题上取得成果这一事实本身就使得该成果引人注目。
何为有效的程序?普林斯顿大学的教授丘奇用递归函数,或者说可计算函数,给出了它的概念。让我们考察递归的一个简单例子:
如果定义 f (1) =1,
f (n+1) =f (n) +3。
那么,f (2) = f (1) +3 或 1+3 或 4,
f (3) 即 f (2) +3 或 4+3 或 7。
依次类推,我们能连续地计算 f(n) 的值,函数 f(x) 就称为是递归的。丘奇对递归的定义更加一般,将其等价于可计算。1936年,丘奇使用他新发展的递归函数的概念表明一般不存在判定程序。因此,对一个特定的断言,我们并非总能够找到一个算法判定它是否能证明。在所有特定的情况下人们都有可能发现一个证明,然而这样的证明能否被发现则在事先并没有检验标准。于是,数学家们尝试求证什么是不可以证明 的可能就是在浪费时间。至于希尔伯特第十问题,马季亚谢维奇于1970年证明:一般情况下没有算法能够判定相应的丢番图方程是否有整数解。这一问题也许并非不可判定,但不存在有效的程序,这意味着对今天大多数的数学家而言,没有一个递归的程序(不必是上面所描述的那一个)能预先告诉我们它是否可解。
不可判定的命题与不存在判定程序的问题之间存在着某种微妙而明确的区别。不可判定的命题在一个特定的公理系统内是不可判定的,它们存在于任何有意义的公理系统中。例如,欧几里得平行公理就不能依据其他平行公理判定,另一个例子是断言实数是满足通常实数公理质的最小集合。
还未得到解决的问题也许可判定,但这不总是能预先决定的。尺规作图的三等分角问题至少有数百年被错误地看作是不可判定的问题,可它已被证明是不可能做到的。丘奇定理表明,不可能预先确定一个命题是否能被证明或证伪,或许二者都不能,即该命题不可判定,但这可不像已知的不可判定命题那么明显。哥德巴赫猜想目前仍没有得到证明,也许依据数论的公理它是不可判定的,但现在还没能明显地看出这一点,这与哥德尔的例子恰恰相反。因此,也许在某个时候,它能被证明或证伪。
尽管哥德尔对不完备所做的工作及提出不可能证明相容所带来的震撼已经过去10年了,但它们还没有从数学界完全消散,而新的震撼又一次来临。这次仍旧是哥德尔,他发表的一系列研究论文引起了更大的困惑:什么是正确的数学,它又正在向什么方向发展?我们再一次回想起起源于20世纪初的数学方法之一:在集合论的基础上构建数学大厦。正是基于这一理由,策梅洛公理系统获得了发展。
在一定程度上,选择公理和连续统假设的相容是令人信服的,就像对待其他的策梅洛 - 弗伦克尔系统的公理那样,人们至少是在充满自信地使用着它们。
然而,数学家们的得意——如果存在的话——将被接下来的进展击得粉碎。哥德尔的结果并没有排除这样一种可能,选择公理或是连续统假设(或者两者都)能够基于其他策梅洛 - 弗伦克尔公理得出证明。选择公理不可能在此基础上证明的思想至少可以回溯到1922年,从这一年开始的几年中,包括弗伦克尔在内的几个人,证明了选择公理的独立。但是他们每一个人都发现,为了得出证明,必须向策梅洛-弗伦克尔系统加入某个辅助公理,并且以后其他人的证明也存在同样的缺陷。哥德尔在1947年推测连续统假设同样独立于策梅洛-弗伦克尔公理以及选择公理。
就原理而言,科恩的称为“力迫法”(forcing method)的方法,与其他的独立证明并没有什么不同。由此人们可能会联想到,为了表明平行公理确实独立于其他欧氏几何公理,人们必须要找出一个解释或者模型,它能满足除去存有疑问的平行公理之外的所有其他公理。这一模型必须相容,否则它也许会满足存有疑问的公理。相对于弗伦克尔、哥德尔等人早期的证明,科恩的改进在于他仅仅使用到了不包括任何辅助公理在内的策梅洛-弗伦克尔公理。此外,与选择公理的独立存在早期证明(尽管不尽人意)相反,连续统假设的独立在科恩的工作之前一直悬而未决。
有许多种数学和集合论(除去其他的数学基础)可以向许多方向发展。进而,人们可以只对集合的有限族使用选择公理,也可只对集合的不可数族使用选择公理。自然,还可以对任何集合族使用选择公理。这种种做法,均有人尝试过。
由于科恩的独立证明,数学陷入了类似于非欧几何所造成的混乱 那样的窘境。众所周知,平行公理独立于其他欧氏几何公理的事实,使几种非欧几何的构造成为可能。科恩的结论提出了如下的问题:面对这两个公理,数学家们该做何种选择?即使只考察集合论公理化的方法,选择的多样也同样令人不知所措。
这种选择之所以不能轻易做出,其原因是在每种情况下都会产生正面的和反面的效果。就像已经提及的,克制不用这两个公理,将会严格地限制能够被证明的定理,并且迫使人们排除许多在现存的数学中一直 被认为是基础的东西。即使是证明任何无限集合 S 具有可数无穷子集,也需要选择公理。需要选择公理才能证明的许多定理在现代分析、拓扑学、抽象代数、超限数理论以及其他一些领域中都是基础的定理。因此,不接受选择公理会使数学家们举步维艰。
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