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策梅洛定理(策梅洛定理与生活)

公理,数学,希尔伯特策梅洛定理(策梅洛定理与生活)

发布时间：2019-02-08加入收藏来源：互联网点击：

就像人们猜测的，哥德尔并非很轻易地就得到了他那令人惊异的结果。他的方案是将数与逻辑主义者和形式主义者在数学方法中所用的符号及符号的顺序相联系。进而对于任何构成证明的命题或者命题集合， 他同样确定一个哥德尔配数（Gödel number）与之对应。

对考察的系统中每一个公式，哥德尔都指定了一个数，而且对构成证明的整个公式序列，他同样指定了一个数，该数的各个指数正是每个公式的数值，尽管它们本身并不是质数，可与它们相对应的底数都取质数。例如 2^900 · 3^90，就是一个证明的哥德尔配数，此证明由公式900和公式90构成。于是，从一个证明的哥德尔配数出发，我们可以重新构造出构成这一证明的公式。

在此基础上，哥德尔进一步指出，他所考察的形式系统的元数学概念同样可以用数值表示出来。因此，元数学的任何断言都有指派给它的哥德尔配数，一个元数学语句的数同时还是某个算术语句的数值。这样，元数学也就被“映射”为算术了。

使用这些算术术语，哥德尔证明了如何构造一个算术论断 G，用元数学语言来说就是，具有哥德尔配数 m 的陈述不可证明。但是 G 作为一串符号，具有哥德尔配数 m，于是 G 对自己说：“我是不可证明的。”但如果纯粹的算术论断 G 是可证明的，它就断言了自己不可证明；反之， 如果 G 是不可证明的，那么正如它所断言的，G 就是不可证明的。然而，既然算术断言要么可证明，要么不可证明，那么算术论断所从属的形式系统如果无矛盾，必定不完备。即使这样，算术论断 G 确实是真的，因为它是一个关于整数的论断，可以通过较形式系统所允许的更直观的推理而建立。

人们还可以从下面的例子中把握和领会哥德尔的方案的精髓所在。考察“这句话是假的”这样的陈述，我们遇上了矛盾。若这句话为真，它断言自己是假的；如果该句话为假，那么它为真。对此，哥德尔用“不可证明”取代“假”，这时句子变为：“这句话是不可证明的。”于是，如果这句话不可证明，那么它讲的是真的；相反，如果这句话可以证明，那么它为假，或是按照标准逻辑，如果它为真，则不可证明。因此，当且仅当这个陈述不可证明时，它为真。这个结果没有矛盾，但却出现了一个不可判定的真陈述。

在展示了他的不可判定陈述之后，哥德尔将“算术是相容的”这一元数学陈述表述为一个算术陈述 A，而且他证明了 A 蕴涵 G。因而如果 A 是可证明的，那么 G 也是可证明的；如果G 是不可判定的，那么 A 就是不可证明的，也就是不可判定的。这一结果表明，能被转换为算术系统的任何方法或逻辑原理，对于证明相容都是无能为力的

看上去似乎可以通过向形式系统加入逻辑原理或数学公理来避免不完备。但哥德尔的方法表明：如果新加入的语句可以按他的方案，即对符号和公式指派一个哥德尔配数，用算术术语表示，那么不可判定的命题仍能被构造出来。唯一可行的方法是，使用不能被“映射”为算术的推理原理来避免不可判定的命题，并证明一致。下面是一个不很严密的类比：如果推理原理和数学公理是日语，哥德尔的算术化是英语，那么只要日语可以翻译成英语，哥德尔的结果就能得到。

哥德尔不完备定理断言，不仅仅是数学的全部，甚至任何一个系统，都不可能用类似哥德尔使用的能算术化的数学和逻辑公理系统加以概括。因为任何这样的公理系统都是不完备的。存在着有意义的陈述从属于这些系统，却不能在系统内部得出证明。然而非形式的论证可以证明其正确。这个结论——公理化的能力具有局限——与19世纪末的观点形成了尖锐的对比。那时人们认为数学与公理化了的各分支的总和具有相同的广度，所以哥德尔的结果是对内涵公理化一个致命的打击。公理化方法的这个缺陷本身并不是一个矛盾，但却是惊人的。因为数学家，尤其是形式主义者，原本期望任何一个真命题一定会在某个公理系统的框架内确立起来。因此，当布劳威尔弄清楚了直觉上明确的东西不及经典数学上证明的东西多时，哥德尔却证明了直觉的可靠超出了数学的证明。正像伯奈斯所说的，过分推崇公理体系是不明智的。当然，上述论点并没有排除这样的可能，新的证明方法可能优于几个基础学派接受的逻辑原理所允许的方法。

哥德尔的两个结果都是毁灭的。相容的不能证明给予希尔伯特形式主义哲学以沉重打击，因为希尔伯特计划了以元数学为工具的这样一种证明，而且相信它能成功。然而，灾难大大超出了希尔伯特的方案所能解决的范围，哥德尔关于相容的结论表明，我们使用任何数学方法都不可能借助于安全的逻辑原理来证明相容，现已提出的各种方法概莫能外。这可能是20世纪某些人声称的数学的一大特征，即其结果的绝对确定和有效已经丧失。更为糟糕的是，由于相容的不可证明，数学家们正冒着传播谬误的风险，因为不定什么时候就会冒出一个悖论。如果真的发生了这种情况，而且悖论又不能消除，那么全部数学都会变得毫无意义。因为对于两个相互矛盾的命题，必定有一个是假的，而且被所有的数理逻辑学家采用的蕴涵的逻辑概念（称为实质蕴涵）都允许一个假命题推出任何命题，因而数学家们正工作在厄运即将来临的威胁之下。不完备定理则是另一场沉重打击，这里又一次直接牵涉希尔伯特，即便这个定理适合于所有关于数学的形式化方法。

虽然数学家们一般并没有像希尔伯特那样自信，可他们确实希望解决一切明确的问题。例如证明费马大定理（其断言没有大于 2 的整数满足 x^n+y^n=z^n）的努力，到1930年为止，已经产生了数百篇冗长而深奥的相关论文。这些努力有可能完全是徒劳的，因其很可能是不可判定的。

在某种程度上，哥德尔不完备定理是对排中律的否定。我们相信一个命题非真即假，从现代数学基础的观点看，这意味着依据该命题归属的特定学科的逻辑规律和公理，它或者可以证明，或者可以证伪。但是哥德尔表明，有些命题既不能被证明，也不能被证伪。这是有利于直觉主义者的又一论据，只不过他们是从其他角度出发反对排中律的。

然而，证明相容的可能依然存在，只要人们能够用不同于哥德尔的方法给出一个包含了不可判定命题的系统。这是因为——根据前面提及的理由——实质蕴涵表明如果存在一个矛盾，任何命题都是可以证明的，但是迄今为止并没有得到上面的结果。

希尔伯特不相信他的失败，他是一个乐观主义者，对人类推理和理解的能力具有无限的信心。这种乐观主义给他以勇气和力量，但却阻止了他去了解可能存在的不可判定的数学命题。对希尔伯特来说，在数学领域中研究者除了自身的能力之外，没有任何其他的限制。

在哥德尔1931年的发表成果的时候，希尔伯特正在和伯奈斯合作写一部关于数学基础的著作（第一卷，1934年；第二卷，1939年）。因此，在第二卷的前言中作者们提出下面的观点：人们必须扩充元数学中的推理方法，包括超限归纳法。希尔伯特觉得，这些新原理仍然在直观上是可靠的，并且会被普遍接受。他坚持了这一方向，却没能取得新的成果。

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