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策梅洛定理(策梅洛定理与生活)

公理,数学,希尔伯特策梅洛定理(策梅洛定理与生活)

发布时间：2019-02-08加入收藏来源：互联网点击：

关于数学的抽象，庞加莱曾经说过，数学是一门为不同事物起相同名字的艺术。例如，群的概念就可以表示整数、矩阵以及几何变换的全部特。勒文海姆-斯科伦定理支持了庞加莱的观点，然而却改变了它的含义。人们并不期望群公理能表明所有解释具有相同的适用范围和特（群公理不是无条件的，如果忽略平行公理，欧氏几何也不是无条件的）。与此相反，数学家们原以为适用于勒文海姆-斯科伦定理的那些公理系统只指向一个特定的解释，于是，当它们适用于完全不同的解释时，则令数学家们茫然不知所措。

上帝打算毁灭某些人，首先是使他们发疯。也许是上帝仍不相信哥德尔和科恩的工作，或者是勒文海姆和斯科伦还打算施展什么诡计，他们又开始了进一步的发展，似乎要使数学家们陷入绝境。在探讨微积分时，莱布尼茨引入了无穷小量。他认为无穷小量比1，0.1， 0.01…以及其他任何正数都小，但不是0。他进而认为，人们可以像使用其他普通数一样使用无穷小量。虽然无穷小量只是一种理想的元素，或者说是一种虚构的东西，但确实是有用的。事实上，对莱布尼茨而言，微积分学的基本概念——导数，就是两个无穷小量的比值。莱布尼茨还像对普通数值那样，也使用了无穷大量。

在整个18世纪，数学家们一直为无穷小量的概念争论不已。一方面，他们任意地，甚至是不合乎逻辑法则地使用它们；另一方面，他们最终又把无穷小量作为没有意义的东西而扔掉。柯西不仅拒绝无穷小量而且想努力消除它们。然而，无穷小量是否合理的问题依旧存在。米塔格-莱弗勒有一次问康托尔，在有理数与实数之间是否存在另外一类数，后者坚决予以否认。1887年，康托尔又证明了无穷小量在逻辑上是 不可行的。这个证明从根本上依赖阿基米德公理，即对于任意实数 a， 总存在一个整数 n，使得 na 大于另一给定的实数b。皮亚诺也证明了无穷小量不存在。罗素在他的《数学原理》（1903 年）中对此表示赞同。

然而，即便是伟人的号召，也不会得到非常迅速的响应。从亚里士多德时代起以及之后很长的一段时间里，地球是球体的观念被众多思想家认为荒诞不经而遭到摒弃。因为如果是那样，生活在地球另一面的人就会在空中倒垂着他们的头颅。可事实上，球体才是正确的观念。同样地，尽管莱布尼茨关于无穷小量的证明必须被摒弃，依然有许多人试图为它建立一个合乎逻辑的推论。

杜·布瓦-雷蒙、施托尔茨和克莱因的确认为基于无穷小的相容理论是可能的。事实上，克莱因指出，为了得到一个这样的理论，就必须 放弃阿基米德公理这一关于实数的最基本的公理。斯科伦也在1934年引入了不同于普通实数的一种新数——超整数，而且给出了它们的一些质。若干数学家的一系列论文最终导致了一种使无穷小合理化的新理论的产生，而其中最重要的贡献则是由罗宾逊做出的。

称为非标准分析的新系统引入了“超实数”（hyperreal number），它包括原有的实数以及无穷小。正像莱布尼茨所做的那样，一个正无穷小被定义为小于一切普通的正数而大于 0 的数值；类似地，一个负无穷小 则大于一切负实数而小于 0。这些无穷量都是固定的数值，从而它们既 不是莱布尼茨意义上的变量，也非可以逼近 0 的变量，而是柯西有时使用这个术语时所表示的含义。更进一步地，非标准分析又引入了新的无穷大数，它们是无穷小量的倒数但不是康托尔的超限数。每一个有限的超实数 r 可表述成 x+a 的形式，其中 x 是一个普通的实数而 a 是一个无穷小量。

有了无穷小的概念，人们就可以说两个超实数无限接近了，这意味着它们的差是一个无穷小量。于是每个超实数都无限地接近于一个普通的实数，因为差恰好是无穷小。人们可以随心所欲地使用超实数，就像使用普通的实数那样。

使用新的超实数系统，人们可以引入其值既可以是普通实数又可以是超实数的函数。根据这些数，人们还可以定义函数的连续：如果 x-a 是无穷小量，那么 f (x) - f (a) 也是无穷小量，此时称 f (x) 在 x=a 处连续。我们还可以用超实数定义导数和其他微积分的概念，进而证明分析的全部结论。最主要的一点是：超实数系统使人们能以一种精确的方式取得微积分学的成果，而先前人们正是因为不清晰甚至无意义而拒不接受微积分。

使用新的数系将会增长数学的力量吗？迄今为止，通过这种方法仍没能得到任何有重大意义的新结论，可重要的是它又开创了一条新的道路，而这正是一些数学家所渴望的。事实上，关于非标准分析的论著已经在不断涌现出来，而另外一些人则因为这样或那样的原因而责难这种新型的分析。但是物理学家们确实得救了，因为即便在知道了柯西已摒弃无穷小之后，为了方便起见，他们仍然在使用着这一有益的工具。

1900年以来数学基础的进展是令人迷惑的，即使在目前，数学的状况仍旧杂乱无章，前进的道路上不再有真理的光芒。曾被普遍赞赏和普遍接受的数学，其证明尽管有时需要校正，但毕竟曾被认为是可靠推理的极致。而到现在，这种看法改变了。对待数学可以采取相互矛盾的态度，在逻辑主义、直觉主义和形式主义的基础之外，集合论的方法又独立地给出了更多的选择。一些有歧义的甚至是矛盾的观点在其他学派内也是可能的。正由于此，在直觉主义哲学的内部，构造化运动又分成了许多小派别。对形式主义而言，什么样的数学原理可以使用存在着众多有待取舍的选择。而对非标准分析而言，虽然并不属于任何一个学派，却允许采取在分析中会引起歧义甚至是矛盾的观点的态度。无论如何，以前曾被当作不合乎逻辑的和应该被摒弃的，现在却被一些学派认为是逻辑上可靠的而予以接受。

至此，旨在消除可能存在的矛盾与建立数学结构相容的努力宣告失败。是接受公理化方法，还是接受非公理化的直觉主义方法？如果接受公理化方法，又应该接受哪些公理？对这些问题再也不会存在一致的看法了。数学是建立在各自的公理集合之上的一组结构，这一流行的观点不足以包含数学所应该包含的东西，另一方面又包含了比它应该包含的更多的东西。看法上的不一致甚至殃及推理。排中律不再是毫无疑义的逻辑原理，争论的焦点是存在证明中不允许计算其存在正被确立的量及是否可用排中律。为此，必须放弃完美推理的观念。显然，不同的数学将导致选择的多样。因此，近期数学基础研究所谓取得突破的进展不过是邂逅了又一片荒野。

我们上面描述的自1931年以来取得的这些成果，使得逻辑主义者、形式主义者和集合论公理化主义者彻底绝望，而唯有直觉主义者对此保持了某种程度的镇定和乐观。使用逻辑符号和原理所做的全部工作，即使对最睿智的伟人的思想也构成了责难，对直觉主义者却是风马牛不相及。数学的相容是显然的，因为直觉的意义保证了这一点。至于选择 公理和连续统假设，直觉主义者们并不承认。此外，布劳威尔在1907年已对此讲得相当多了，不完备和不可判定命题的存在不仅没有使他们感到困扰，而且他们还理直气壮地说：我早就这样跟你讲过了。然而， 即使是直觉主义者们，其实也不希望抛弃在1900年之前建立的那部分不合乎他们标准的数学。他们已经断言，通过使用排中律确立数学的存在是不能被接受的，只有允许人们按照期望的精确度对其存在已被证实的量进行运算的那些构造，才是令人满意的。因此，他们仍在争论着构造的存在证明。

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