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策梅洛定理(策梅洛定理与生活)

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发布时间：2019-02-08加入收藏来源：互联网点击：

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许多人都以为数学知识是确定无疑的，数学大厦是坚不可摧的。其实，与其他任何一门学科一样，数学的发展也充满了波折。25个世纪以来，数学史上发生了多次危机：非欧几何对欧氏几何的冲击、无理数的发现及数的扩张、微积分带来的分析困境、集合论悖论和其他逻辑悖论出现……数学大厦一次次面临倒塌的危险。

美国数学史大家、数学哲学家莫里斯·克莱因（Morris Kline，1908—1992）在《数学简史：确定的消失》一书中，探讨了数千年来数学在直觉、逻辑、应用之间穿梭往复的炫目旅程，再现了真实数学的发展过程，阐述了数学的起源、数学的繁荣和科学的数学化，直到当代数学的现状：数学与确定（逻辑，严密，完备）渐行渐远。透过数学史上的大事件，克莱因一步一步剥开数学思想与数学思维变迁的脉络。在不牺牲准确的情况下，克莱因几乎没用公式，就用最短的篇幅讲述了数学2500年惊心动魄的历史。

本期展卷节选自该书第十二章“灾难”。微信留言被点赞最多（截至7月14日中午12点）的四位读者可获赠《数学简史：确定的消失》一本。

撰文 | 莫里斯·克莱因

翻译 | 李宏魁

回顾以往，1930年时数学基础的状况可说是差强人意。已知的悖论已经被解决，但是几个学派为此使用了特定的方法。诚然，对于什么是正确的数学这一问题已不再有一致的观点，然而每一位数学家都能采用他所喜欢的方法，进而依据该方法的原理发挥他的创造力。

但是，两个问题继续困扰着数学界。第一是建立数学的相容，这恰恰是希尔伯特在1900年的巴黎讲演中提出的。虽然已知的悖论已经解决，可再次发现新悖论的危险依然存在。第二个问题被称为完备 （completeness），一般而言，完备意味着任何数学分支的公理对于判别涉及该分支的概念的所有有意义的断言的真伪是充分的。

完备问题就是一个合理的欧氏几何的命题，例如“三角形的三条高线交于一点”这个命题能否根据欧氏公理证明或证伪。更进一步，在超限数域中，连续统假设又是一个例子。完备要求根据构成超限数理论基础的公理证明或证伪该假设。类似的，完备要求根据数论中的公理证明或证伪哥德巴赫猜想（Goldbach's hypothesis）：任一偶数都是两个质数之和。事实上完备问题包括了许多其他的命题，对它们的求证向数学家们所发起的挑战已逾几十年甚至上百年。

对于相容问题和完备问题，几个学派采取了稍有不同的态度。罗素实际上放弃了他的逻辑方法中使用的逻辑公理是真理的信念，并且还承认了他的约化公理的人为属。他的类型论避免了已知的悖论，而且罗素确信它能避免所有可能的悖论。然而，信心不能代替证明，罗素没能解决完备问题。

尽管集合论公理化主义者自信他们的方法不会引起新的矛盾，但这一信念缺乏证据。同样，人们关注的主要不是完备，直觉主义者对相容问题漠不关心。他们认为被人类思维所承认的直觉具有自然而然的相容，形式论的证明是不必要的，也与他们的哲学不相干。至于完备，他们的看法是，人类的直觉是如此的强有力，以至于能判断绝大多数有意义的命题的真伪，即便有个别例外。

与之相反，由希尔伯特领导的形式主义学派并没有自鸣得意。在20世纪的最初几年，希尔伯特为解决相容问题做了一些初步的工作。此后，在1920年，他的研究工作又一次回到了相容和完备问题。

在他的元数学中，希尔伯特找到了相容的证明方法。对于完备， 在1925年的论文“论无限”中，他再次从根本上对1900年巴黎演讲所表明的观点进行了阐述：“每一个明确的数学问题必须能被正确地解决。” 在1925年的文章中，他进一步强调了这一观点：

作为可以用来处理基本问题的方法的一个例子，我更乐于选取一切数学问题均可解决这样一种观点。我们都相信这一点，吸引我们去研究一个数学问题的最主要的原因是：在我们中间，常常听到这样的呼声，这里有一个数学问题，去找出它的答案！你能通过纯思维找到它，因为在数学中没有什么不可知！

在1928年意大利博洛尼亚国际数学家大会的发言中，希尔伯特批评了以前的完备证明，因为它们使用了元数学所不允许的逻辑原理。但他对自己系统的完备则充满了信心：“我们的推理并不具有任何秘密的技术，它只不过按照确切、清楚的规则进行而已，正是这样的规则保证了判断的绝对客观。”他还说，每个数学家都相信，任何明确的数学问 题必是可解的。在1930年的论文“自然知识和逻辑”中，他又这样说：“我认为，孔德没有能找到一个不可解的问题的真正原因是，本来就不存在不可解的问题。”

在1927年完成，1930年发表的《数学的基础》中，希尔伯特详细论述了他在1905年的观点：使用他的元数学方法（证明论）可以来建立相容和完备。他断言：

我力求用这种建立数学基础的新方法达到一个有意义的目标，这种方法可以恰当地被称为证明论。我想把数学基础中所有的问题按照其现在提出的形式一劳永逸地解决，换言之，把每一个数学命题都变成一个可以具体表达和严密推导的公式。经过这样的处理，数学所推导出来的结果就会无懈可击，同时又能为整个科学描绘一幅合适的景象。我相信我能用证明论达到这一目标，尽管为此还要做大量工作。

显然，希尔伯特对于用证明论解决相容和完备问题是非常乐观的。

截至1930年，人们已取得了若干完备的相关成果。希尔伯特自己构造了一个只包括算术且具有一定人为色彩的系统，进而建立了它的相容和完备。不久其他人也得到了类似的局部结果，从而相对平凡的公理系统（例如命题演算）被证明是相容的，甚至是完备的。这些证明中的一部分是由希尔伯特的学生完成的。1930年，后来成为普林斯顿高等研究院教授的哥德尔证明了包括了命题和命题函数在内的一阶谓词演算的完备。所有这些成果使形式主义者备受鼓舞。希尔伯特本人也确信，他的元数学和证明论将会成功地确立全部数学的相容和完备。

但就在第二年，哥德尔发表的另一篇论文却打开了潘多拉的盒子。这篇题为“论《数学原理》中的形式不可判定命题及有关系统”（1931年）的论文包含了两个惊世骇俗的结论。其中对数学界尤具毁灭的断言是：任何数学系统，只要其能包含整数的算术，其相容就不可能通过几个基础学派（逻辑主义学派、形式主义学派、集合论公理化学派）采用的逻辑原理而建立。这一结果特别适用于形式主义学派，原因是希尔伯特已经仔细地限定了元数学的逻辑原理，能使用的逻辑工具之少甚至连直觉主义者都认为可以接受。难怪外尔对此评论说：上帝是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容。

上述哥德尔的结果，是他的更为惊人的结果的一个推论，被称为 “哥德尔不完备定理”（Gödel incompleteness theorem）。这一定理表明， 如果一个形式理论 T 足以容纳数论并且无矛盾，则 T 必定是不完备的。这意味着，有这样一个数论的有意义的语句 S，使S 和非 S 用这个理论都证明不了。因为 S 或非 S 总会有一个是真的，于是就有一个数论的语句 S，它是真的，又是不可证明的，故其是不可判定的。尽管哥德尔并不十分清楚其所涉及的公理系统的分类，但事实上他的定理不仅适用于罗素 - 怀特海系统、策梅洛 - 弗伦克尔系统、希尔伯特的数论公理化，而且事实上是一个被广泛接受的公理系统。很明显，相容是以不完备为代价的。我们可以通过那些超越前面所提到的形式系统的逻辑的证明，也就是推理的规则，来说明某些不可确定的语句。

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