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质数是否存在规律？

质数,黎曼,零点质数是否存在规律？

发布时间：2019-02-08加入收藏来源：互联网点击：

偏小。相比之下Li(x)确实更加精确一些。

但是，即便如此，数学家们还是不满意。Li(x)即便精确一些，但是当x取到亿级的时候，它将产生两千多个误差，这对眼里容不得沙子的数学家来说，依然是不可接受的。

难道就不能再找到更好的结果了么？

黎曼登场

前面做了那么多铺垫，我们的主角黎曼终于要登场了。

我们先看一看这几个人的出生年代：欧拉（1707-1783）、高斯（1777-1855）、黎曼（1826-1866）。高斯比欧拉小了70岁，黎曼比高斯小了49岁，而黎曼正好是高斯最得意的学生。从上面我们发现最悲伤的事情是：欧拉和高斯分别活了76岁和78岁，而黎曼只活了40岁。

如果黎曼能活得跟欧拉高斯一样久，黎曼猜想或许早就被黎曼自己解决了，而且说不定黎曼能把相对论搞出来（爱因斯坦的广义相对论的数学工具就是黎曼几何）。黎曼的创造力和对数学的洞察力太惊人了，他随便一个证明从略的东西就要花费后世数学家几十年的时间去证明，而黎曼的运气又太差了，他极其珍贵的手稿在他死后被管家一把火烧了，可见身体是革命的本钱啊！

1859年，黎曼发表了关于质数分布的论文《论小于某给定值的素数的个数》，这是他在这个领域发表的唯一的一篇论文，却被认为的该领域最重要的论文，不得不说有才就是任性。

黎曼 Zeta函数

关于Zeta函数我们在上面已经介绍了，欧拉第一个发现了质数和Zeta函数之前存在着某种不可告人的秘密，但是这种关系毕竟很有限。

黎曼做的一个重要的工作就是：把Zeta函数推广到了复数，然后在复数这个更高的角度发现了Zeta函数跟质数之间更加深刻的关系。

我们先来回忆一下复数的概念：-3，2，0，1，5这种数是整数，整数加上有限小数和无限循环小数构成了有理数，有理数加上π、根号2这种无限不循环的无理数一起构成了实数，实数和虚数一起构成了复数。

虚数主要是通过一个虚数单位构成的，这个虚数单位记做i，这个i的一个神奇的特性就是：i的平方等于负一，即i^2=-1。

我们知道，在实数范围里，任何一个数的平方都是大于等于0的数，但是现在出现了一个i，它的平方居然等于-1，那么这个i肯定就不是实数里面的了。那么，有这个i组成的数就叫虚数，实数和虚数一起就叫复数。

根据上面的定义，一个复数就可以写成s = σ + it（其中σ 和 t 均为实数，i为虚数单位），当t=0的时候，这个复数就变成了一个实数。

黎曼Zeta函数就是把原来的Zeta函数拓展到了这个复数里面，也就是说下面的s代表一个复数。

函数的零点

我们在初中的时候就接触过方程和函数。

方程是一个含有未知数的等式，使用方程可以让我们省去逆向思维的痛苦，这在数学里是一个非常重要的思想。通常我们会把方程里所有的项都移到左边，然右边只剩下一个0，而通过解方程就可以求解出这个未知数。

比如，2x-4=0这是一个方程，因为只有x一个变量，而且最高次项只有一次（没有平方立方啥的），所以这叫一元一次方程，也是最简单的方程。我们通过观察，很轻松的就可以发现当x=2的时候这个等式是成立，所以这个方程的解就是x=2。

然后，我们把方程的左边单独摘出来，把它赋给另外一个变量y，这样就变成了y=2x-4，那么这样就产生了一个函数。

我们观察这个函数，当x=1的时候，y=-1;x=2的时候，y=0；x=3的时候，y=2等等等等。给定一个任何的x，我们的y都有一个唯一的值跟它对应。

那么，当x等于多少的时候，y等于0呢？这个问题就是函数的零点的问题，大家观察一下就可以发现，如果y=0那么这个函数就变成了y=2x-4=0，这不就是之前的方程么？因为函数的零点问题其实是跟这个函数对应的方程的解的问题联系在一起的，所以，这个函数的零点问题就显得特别的重要。

那么好，在我们这个y=2x-4这个函数里，它有零点，并且只有x=2这一个零点，但是在很多函数里，它的零点就不止一个。比如说y=x^2-4（x的平方减4），这个函数就有x=2和x=-2两个零点，它有两个零点就意味着它对应的方程有两个解，以此类推。

黎曼Zeta函数的零点

我们现在了解了一个函数的零点的概念，也懂得了它的意义，那么黎曼Zeta函数它是不是也是一个函数呢？既然是一个函数，那么它是不是也有零点？那么它的零点应该是什么样的呢？

上面我们也说了，这个Zeta函数之所以要称为黎曼Zeta函数，就是因为黎曼把这个函数拓展到了复数领域，那么相应的，这个函数的零点也应该是复数。

我们就假设黎曼Zeta函数的零点s=a+bi（这是一个复数，a为实数部分，简称实部，b为虚数部分，简称虚部）

黎曼对根据零点实部的大小给这些零点分了一个类：a<0的零点，0<=a<=1的零点和a>1的零点。

实部a<0的零点：这部分零点非常的简单，就是在负偶数的地方有零点，比如-2，-4，-6，-8……因为这部分的零点是在是太平凡了，所以它们叫平凡零点。

实部a>1的零点：通过计算，黎曼发现当实部a>0的时候，函数压根就没有零点，也就是说，在这里不存在零点。

实部0<=a<=1的零点：小于0和大于1部分的零点都容易解决，这部分处在临界地区的零点是最复杂的，也是被研究的最多的，这部分的零点因为非常的复杂，非常的不平凡，所以被称为不平凡零点。跟黎曼猜想息息相关的，正是这些不平凡零点。

黎曼猜想

黎曼在研究这些非平凡零点的时候，发现他求解的非平凡零点的实部a都等于1/2，但是他无法给出证明，无法从数学上推导出黎曼Zeta函数的非平凡零点的实部都等于1/2。

于是，黎曼就给出了鼎鼎大名的黎曼猜想：黎曼Zeta函数的非平凡零点的实部都等于1/2。

如果黎曼猜想是正确的，那么以后黎曼Zeta函数的非平凡零点就可以都写成s=1/2+bi的形式。

据说我们已经用计算机已经验证了10万亿个非平凡零点，发现它的实部都等于1/2，但是10万亿不等于所有，在无穷面前依然是沧海一粟。

当然，因为黎曼猜想非常的好用，所以，很多数学家也等不到黎曼猜想被证明（他们相信黎曼猜想应该是对的，只是现在还无法证明而已），他们就直接假设黎曼猜想是对的，然后继续进行他们的工作。据说，目前已经有一千多个命题是基于黎曼假设正确提出来的，也就是说，如果黎曼猜想最终被确切证明是正确的，那么这一千多个命题就会荣升为定理，如果黎曼猜想不幸是错误的，那么一千多个命题就会集体陪葬。

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