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如何证明自然数的乘法交换律？

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发布时间：2020-12-06加入收藏来源：互联网点击：

如何证明自然数的乘法交换律？

回答于 2019-09-11 08:43:50

回答于 2019-09-11 08:43:50

先看数乘法的定义：

1）0×n=0

2) (n+1)×m=n×m+m

根据题目的意思要证明：∀a、b∈N，等式a×b=b×a成立

先证明：m×(n+1)=m×n+m①成立（与定义中2）是区别的）

对①，用数学归纳法

当m=0时，显然①成立；

假设当m=k时，①也成立，即k×(n+1)=k×n+k;

假设当m=k+1时，(k+1)×(n+1)=k×(n+1)+(n+1)=k×n+k+n+1(第一个等号是基于定义2，第二个是基于假设)

又(k+1)×n+(k+1)=k×n+n+k+1(基于定义2)

所以(k+1)×(n+1)=(k+1)×n+(k+1)

所以，当m=k+1时，①也成立；

故①成立。

再证明∀a、b∈N，等式a×b=b×a②成立，同样用数归法

当a=0时，②显然成立；

假设a=k时，②成立，即k×b=b×k

当a=k+1时，(k+1)×b=k×b+b=b×k+b=b×(k+1)(第一个等号基于定义2，第二个基于假设，第三个基于①式)，所以②也成立

故②成立，即∀a、b∈N，有a×b=b×a，也就是自然数的乘法交换律。

回答于 2019-09-11 08:43:50

证明：设n、m都是自然数，由自然数乘法定义有：nxm=n+n+n+……+n，（m个n相加）。

然后，我们把这nxm个元素排列成m行、n列的矩阵形式，即每行n个元素，一共m行。现在我们可以把这些元素看作每列m个元素，共有n列，由自然数乘法定义可知共有m+m+m+……+m=mxn个元素（n个m相加）。于是有nxm=mxn。这就是自然数乘法的交换律。证毕。

回答于 2019-09-11 08:43:50

这么简单的东西，太容易了。一块豆腐就解决。把豆腐横切a片，竖切b片，总的条数一定是a和b的积。这个积横看每片都有b条，一共a片，也就是a个b，总条数可以用a×b表示。

竖着看，同理，总条数可以用b×a计算。

总条数是不变的！

所以a×b=b×a。

豆腐自己买吧。其实画个豆腐也行还省钱。

数学的东西要善于用图，有奇效！也可以用长方形求方块数解决，道理一样。