您现在的位置: 首页 > 网站导航收录 > 百科知识百科知识

如果线是由无数点组成，而点的长度为0，是否可以推出任意一条线段长度为0？

角形,长度,线段如果线是由无数点组成，而点的长度为0，是否可以推出任意一条线段长度为0？

发布时间：2020-12-06加入收藏来源：互联网点击：

如果线是由无数点组成，而点的长度为0，是否可以推出任意一条线段长度为0？

回答于 2019-09-11 08:43:50

回答于 2019-09-11 08:43:50

这个问题很容易让人陷入“钻牛角尖”的地步。

问题本身是涉及到微积分，极限等概念，当然还有其他相对高深的数学概念。对于普通人来讲，用相对高深的数学理论理解点和线段没有必要，需要通俗的语言。

首先，点是一个理想化抽象化的概念。什么是理想化？也就是说现实中并不存在这样的事物。线段是由多少个点组成的呢？无限大！而无限大也是一个理想化概念，现实中也不存在无限大。

而抽象化的事物从来不是具体的，所以说点本身就不存在长度，所谓的“点的长度为0”这种说法并不严谨。

只是人类无论如何去想象，想象出来的事物都一定是具体的，所谓我们通常会认为“点的长度是一个具体的数0”！

可以这样简单理解：点的长度是一个大于零的最小的数！这个数也是不存在的，因为无论多么小的数都是固定的数，固定的数就是具体的数，而大于零的最小数是抽象概念，并不存在！

另外，我们可以这样理解线段：线段是点的移动！不要总局限于认为“线段是由无数个点组成的”！

回答于 2019-09-11 08:43:50

这个问题的实质，是无穷小量的无穷多次叠加问题，属于高等数学里求极限的范畴。把一个高等数学里的求极限问题作为一个最初等的算术问题拿出来计算，肯定不仅不会得出正确结论，而且还会引偏方向。

同样道理，我把一个不是求极限的问题，当作求极限问题拿出来，没准还可以把某些人引到另外一条斜道上去呐。听好了。有人利用求极限的方式来推翻“三角形任意两边之和大于第三边”的定理。他是这么说的，先以直角三角形为例，从斜边中点向两直角边分别引垂线，将原直角三角形分割为两个小的直角三角形与一个矩形；根据矩形对边两两相等的原理，两个小三角形的四条直角边之和，应当等于原大三角形的两条直角边之和；继续进行下去，更小更小的直角边之和仍然等于原大三角形两边之和，但是它们却又越来越接近于斜边；无限进行下去，小小小三角形的直角边会与斜边重合，但仍然等于原来大三角形的两直角边之和。因此，他得出结论，“直角三角形的两直角边之和可以等于斜边”。他将直角三角形，不管是改换成锐角三角形，还是钝角三角形，只要把直角边垂线改换成另外两条边的平行线，矩形改换成平行四边形，矩形对边两两相等改换成平行四边形对边两两相等，也会得出同样结论。于是，不管是在直角三角形、还是锐角三角形、钝角三角形中，“三角形任意两边之和大于第三边”都可能不成立。

发现上述“三角形任意两边之和大于第三边”的正误，错在哪里了没有？如果发现了，没准你能够说服本问题的提问者，帮他发现他提的问题错在哪里。

回答于 2019-09-11 08:43:50

答案是：不能推出！

why?

我们，用 μ(x) 标示 x 的 长度，于是：

对于 有限 个点 组成的 集合 A = {a₁, a₂, ... , aᵣ }，A 的 长度 是 各个点长度之和，即，

μ(A) = μ(a₁) + μ(a₂) + ... + μ(aᵣ) ①

因为，每个点 长度 都是 0， 即， μ(aᵢ) = 0， i = 1, ..., r，所以，

μ(A) = 0 + 0 + ... + 0 = 0

当 A 中的点 是无限多个时，A 的长度 就不一定是 0 了！

要让 A 的长度仍然是 0，就必须 满足上面的计算过程，也就必须 让 ① 成立。当 A 无限时， ① 改写为：

μ(A) = μ(a₁) + μ(a₂) + ... = ∑_{i = 1}^∞ aᵢ

这就要求 A 中元素 必须可以排除一列，即：

A = {a₁, a₂, ... , aᵢ, ... }

我们称 这样的无限 为可数。 这时，

μ(A) = 0 + 0 + ... = 0

考虑 当 A 是 直线段时，则 A 中也含有无限个点，而且我们还知道 直线是 连续的，也就是我们不可能在 A 的任意两点之间 插入一个新的点。如果 A 是可数的，则 A 中的点可以排除一列：

a₁, a₂, ... , aᵢ, ...

这样，我们完全 可以 在 a₁ 和 a₂ 之间插入 b 这个新的点。可以被插队，是队列的特性！ 所以，队列不可能是 直线段，直线段不能被排成一列，进而，A 不可数。于是，前面的计算过程失败，A 的长度 不为 0，可以是任意长度。

---

(以下是小石头兜售的私货，不喜勿看！）

直线段对于实数区间，下面 我们来证明 实区间 (0,1) 内 所含 的数字不可数。

假设 (0,1) 中的小数 可数，则这些小数可以拍成 一列，如下：

0.a₁¹a₁²...

0.a₂¹a₂²...

...

令 D = {0, 1, ..., 9}，并定义 映射

f: D → D, a ↦ a ≠ 9 ? 9 : 6

映射 f 保障 f(a) ≠ a。

让 i₁ = 1，令 b¹ = f(a₁¹)，然后 从 i₁ 项 开始 在 小数列 中逐个查找，第 1 小数位 为 b¹ 的 小数项，设 找到 第 i₂ 项目；

令 b² = f(aᵢ₂²)，然后 从 i₂ 项 开始 在 小数列 中逐个查找，第 2 小数位 为 b² 的 小数项，设 找到 第 i₃ 项目；

...

这个步骤一直进行下去，我们就得到 一个小数：

0.b¹b²...

它 与 上面小数列 中的 每一项小数 都不相同，在此队列之外。




另外，上面的 μ(x) 是一个实值函数，它用来测量点集 x 的长度，满足：

μ(x₁ + x₂ + ... ) = μ(x₁) + μ(x₂) + ...

我们称 这在性质 为 可列加性，另外 还满足：

μ(x) ≥ 0, μ(∅) = 0

我们称 满足 上面 两个性质的 μ(x) 为测度。如果不能保证 μ(x) ≥ 0，则叫做 符号测度。

不是所有测量，都满足测度的，比如：测量物体 x 的表面积 s(x) 只满足：

s(x₁ + x₂ + ... ) ≤ s(x₁) + s(x₂) + ...

称 s 为 外测度。

 1/2    1 2 下一页 尾页