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偏微分方程(力学的几何化)

力学,几何,黎曼偏微分方程(力学的几何化)

发布时间：2019-02-08加入收藏来源：互联网点击：

由此打开了 20 世纪整个理论物理研究的新局面。例如，力学系统在时间移动之下的不变性，对应于能量守恒定律，对于空间平移的不变性对应于动量守恒定律，对于旋转变换之下的不变性对应于角动量守恒定律等等。在电学中的电量守恒、量子力学中的宇称守恒等等都对应于相应的变换群作用之下的不变性质。

20 世纪对于基本粒子的探索，这个定律起到了举足轻重的作用，所以有的物理学家说："它是引领现代物理前进的最重要的能够和毕达哥拉斯定理相匹敌的数学定理。 "在力学中讨论的许多变换中，还应当着重介绍的是勒让德变换。

1787 年，勒让德(Adrien-Marie Legendre，1752-1833) 在蒙日关于最小曲面研究的启发下，给出了勒让德变换。勒让德变换在力学和物理上的应用，可以把作用量的自变量换成与原来变量对偶的变量。由此就可以发展出一系列的另外的作用量和运动方程的新的表述形式。

勒让德变换是从以下偏微分方程出发的

其中若令 ，再令 仅是 的函数。令曲面 的切平面为

则应当有

式(25) 在变量 与它们的对偶变量 之间给了一个变换。把这个变换具体写出来就是对它求微商得

考虑到上面变换的雅科比矩阵应当互逆，即

于是有

其中

这个变换把一个拟线性方程(24) 变到一个线性方程(26).

把以上的思想推广，设有 个变量 的函数 ，它具有直到二阶以上的连续微商，取新的一组变量

它们组成对原变量 的一组变换其雅科比行列式

从式(28) 可以把原变量反解出来得

考虑新函数

可以证明

两个函数 和 的关系由式(30) 给出。对应的变量和函数的关系分别由式(28) 和式(31) 给出。它们概括了力学与物理中许多对偶关系。

在热力学中，常见的自变量或状态变量有 四个，即温度、熵、压强与体积。这四个变量之间两两对偶，前两个之积和后两个之积的量纲都是能量。用体积和熵为自变量表示的内能 ，有

可以将自变量改变为与其对偶的量，于是得到和内能同一量纲的三个热力学函数 ，即亥姆霍兹自由能、焓、吉布斯自由能，它们和内能之间的关系是

这些热力学函数之间的关系恰好是勒让德变换。所以，勒让德变换实际上是在得到了一个不变量后，要得到对偶自变量下的相应不变量的一个重要的变换。

变形能密度 与余变形能密度 之间有关系

它们都是勒让德变换的实例。

在分析力学中，拉格朗日方程是

其中拉格朗日函数是 ， 为动能， 为势能。哈密尔顿函数与拉格朗日函数之间的关系是 。这实际上也是一个勒让德变换。在这个变换下，拉格朗日方程就变换为哈密尔顿方程

5 结语

以上所介绍的黎曼几何、辛几何、外微分以及相关的几何概念和变换群理论，都是数学家从 19 世纪中叶开始到 20 世纪中叶近百年中发展起来的成果。这些成果最初对大多数物理学家和力学家都是不熟悉的。它们逐渐显露出深入研究力学与物理的强大力量。

一些经典力学的内容，用这些新的几何语言重新进行整理和加工，形成新的体系。于是到 20 世纪 50 年代以后，有一个逐渐向力学界和物理界传播和普及的过程。这个过程的主要特征是出现了大量好的教材，和用这些新的几何语言重新整理经典的物理和力学理论的成果。这个趋势被一些学者称为"物理的几何化".

在数以百计的这类书中，有一本比较通俗的著作，这就是前苏联学者阿诺尔德 (Владймир Йгоревич Арнольд，1937-2010) 所写的《经典力学的数学方法》，该书是作者 1966-1968 年在莫斯科大学数学力学系数学专业 3 到 4 年级的讲义基础上写成的。

尽管有人评论这本书写得像数学，由它不一定能够学会力学, 不过它仍不失为一本好书。他把经典力学的发展归结为三步：牛顿力学相应于欧氏几何，拉格朗日力学相应于黎曼几何，哈密尔顿力学相应于辛几何。

作为结束，在力学的几何化方面还应当提起两件事：

“

一是爱因斯坦 1915 年提出的广义相对论，它直接把引力归结为空间的弯曲。认为空间有了物质分布，就会引起空间的弯曲，而空间的弯曲就对应于引力。所以他引进了引力场方程

”

这里 是度量张量， 是 Ricci 曲率张量，， 是宇宙常数， 是万有引力常数。物质场的能量动量张量 满足 .

二是，以上几节讲的都是有限自由度的力学系统，近年来，人们逐渐把几何方法推广到无限自由度的连续体系统中。相应地，把这些空间的概念拓广到无限维空间。比较有代表性的成果是阿诺尔德等著的用微分几何的观点研究流体力学的专著^[7], 得到了一些新的结果。

可见，力学的几何化，无论从教学还是从力学的基础研究来看，都是一个值得关注的研究方向。

参考文献

[1] 阿诺尔德. 经典力学的数学方法(第4版). 齐民友译. 北京: 高等教育出版社, 2006

[2] 武际可. 谈谈对称. 科学网博文. http://blog.sciencenet.cn/blog-39472-781656.html

[3] 武际可. 从太极图说起——再谈对称. 科学网博文. http://blog.sciencenet.cn/blog-39472-786937.html

[4] 武际可, 黄克服. 微分几何及其在力学中的应用. 北京: 北京大学出版社, 2011.

[5] 武际可, 王敏中, 王炜. 弹性力学引论(修订版). 北京: 北京大学出版社, 2001.

[6] Olver PJ. Applications of Lie Groups to Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 1990.

[7] Arnold VI, Khesin BA. Topological methods in Hydrodynamics//Applied Mathematical Sciences. New York:Springer-Verlag, 1998

来源：和乐数学编辑：米老猫

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