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偏微分方程(力学的几何化)

力学,几何,黎曼偏微分方程(力学的几何化)

发布时间：2019-02-08加入收藏来源：互联网点击：

这个式子用矩阵的符号可以记为

式中 与 分别表示 阶零矩阵和单位矩阵。度量矩阵 的形式为

需要说明的是，外积的概念在 19 世纪就已经产生了。到了 20 世纪，法国著名数学家卡丹(Élie Joseph Cartan，1869-1951) (图 3)对它进行了系统的发展，并引进外形式和外微分的概念。表达式(18) 或(19) 就是一个二阶外微分形式，对于微分形进行外微分，可以得到更高阶的微分形。

后来的研究发现外形式有着更为丰富的几何内涵。与之相对应的式(13) 是仅仅考虑流形内的度量性质，对应的几何称为内蕴几何。而外形式则更多地考虑到流形的定向、低维流形与高维流形之间的关系，所以后来在力学、物理和微分方程的可积性等方面都有重要的应用。卡丹在李群理论及其几何应用、数学物理、微分几何等方面有很重要的贡献。

辛(Symplectic)这个词则是德国(后加入美籍)数学家魏尔(Hermann Klaus Hugo Weyl，1885-1955) (图 3)于1939年引进的。他首先引进了辛群(Symplectic Group)的概念，即一个线性变换群如果能够保持反对称二次型(18) 的反对称性质则这个线性变换群就称为辛群。对辛群，魏尔在1946年出版的专著《经典群，它们的不变量与表示》第六章中有较详细的讨论。

抗日战争胜利后，蒋介石想制造原子弹，曾派出华罗庚(数)、吴大猷(理)、曾昭抡(化)，各带一二位研究生于 1946 年赴美考察。后来他们知道，美国政府规定：凡与原子弹有关的研究机构和工厂，-律不准外国人进入。这三位和他们所带的研究生只得"各奔前程"。华罗庚就去访问普林斯顿，接触到魏尔，并把"Symplectic"翻译为"辛"，介绍到中国。

1834 与 1835 年，哈密尔顿发表了两篇著作，《论动力学中的一个普遍方法》与《再论动力学中的普遍方法》。在这两篇论文中包含了他对分析力学的主要贡献。

哈密尔顿引进了

后人将 称为哈密尔顿函数。将 称为哈密尔顿的广义坐标。

利用 式，从中解出 为 的函数代入上式，再将上式作变分可得

注意式中的自变量的变分是任意的，可得到

这便是以哈密尔顿函数 与哈密尔顿变量 表示的运动方程。后人也将它称为哈密尔顿方程。 决定的流形，也称为相空间，显然它是 维的。

现在把式(21) 写成矩阵的形式，我们有

式中

这个式子中右端的矩阵就是式(20)，就是说方程(21) 的反对称性质和辛几何中的二次型(19) 的结构是相同的。于是讨论关于方程(21) 的许多问题就和研究辛几何的问题一致起来了。例如要在相空间进行一个变换使它在新的相空间的方程仍然具有(21) 的形式，就和辛空间的参数变换使得二次型(19) 的形式不变是同一个问题。这样的变换在力学中称为正则变换，在辛几何中称为辛群。

哈密尔顿的力学系统与拉格朗日的力学系统的不同处在于，它是把原来的二阶方程组化归为一阶方程组。对应的几何语言也有不同，考虑由广义坐标 构成的 维流形，还要考虑流形上每一点有一个由 组成的 维切空间，它们的直积就构成一个 维流形，这样的流形，称为 维纤维丛。如果在这个纤维丛上定义了一个 2 次外形式，这就是一个辛流形，并且定义了一个哈密尔顿函数 ，则我们就构成了一个辛流形上的动力系统。

哈密尔顿方程不仅是从形式上将拉格朗日的二阶方程组变为一阶方程组，使它更易于求解，而且由于使它与辛几何对应，开辟了从研究辛几何去获得关于解的性质的途径。进而它告诉我们，一切具有能量守恒的力学系统，或者说二阶方程组都能够化归为哈密尔顿系统求解，近年来，有些学者将理想流体的欧拉方程组，化归为哈密尔顿系统来研究，得到了一些新的结果。另外由于哈密尔顿系统具有守恒性质，所以在对力学系统进行离散化数值计算时，要使差分格式的每一步都能够保持反对称性质，或者说每一步都是保辛的格式，则计算精度会更好。

4 变换群与动力系统

1637 年, 笛卡尔(Rene Descartes，1596-1650) 发表《La Géométrie》奠定了解析几何的基础。从而产生了坐标变换的概念。

1893 年, 李(Marius Sophus Lie，1842-1899) 出版了包含其九年研究成果的三卷书《Theorie der Transformationsgruppen》。奠定了李群也就是变换群的基础^[6].

1872 年，德国数学家克莱因(Felix Christian Klein，1849-1925) 在论文《Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen》中提出以变换来区分非欧几何的理论, 后来被称为 Erlangen program (爱尔朗根纲领)。

他将欧氏几何、罗巴切夫斯基非欧几何以及狭义的黎曼非欧几何等度量几何都统一于射影几何而成为射影几何的特例。他将当时的几何，分为射影几何、仿射几何和欧氏几何，这不同的几何对应于不同的变换群。并且称："给了一个流形和这个流形的一个变换群，建立关于这个群的不变性理论。

"就是说，几何学是研究变换群作用下图形和形体的不变性质的。这个思想成为后来几何学发展的纲领。后来人们引进了空间的连续变换群，开辟了一种新的几何：研究在连续变换群作用之下的不变的性质的几何成为一门新的几何领域，这门新的几何就是拓扑学。

在引进了坐标和时间的变换后，人们自然要讨论在这些变换下，哪些力学量保持不变。于是人们定义了以下 3 个力学量：动量 、角动量 和能量 。人们立即发现，这 3 个力学量分别在坐标的平移、旋转和时间的平移之下保持不变。这就是著名的力学中的三大守恒定律。

1904 年罗伦茨(H.Lorentz，1853-1928) 引进了时间和空间变量的罗伦茨变换，在罗伦茨变换下，时空距离 是不变量。其中 是光速。罗伦茨变换在后来相对论的发展中起了非常重要的作用。

在研究了许多个别的不变量之后，人们需要从一般的观点来讨论变换和不变量。在力学问题被牛顿和拉普拉斯等人提为微分方程组之后，一个力学系统的变化可以用动力系统 表述，设给定初值为 ，它的解是

这个解实际上给出了从 到 的一个带参数 的变换。李是系统研究这种变换的第一人。这个变换构成了一个单参数变换群，也称为单参数李群。

设 为 的任一函数，一般来说如果

则 就是在变换(22) 之下的一个不变量。显然这个条件是充分必要的，这是因为

进一步讲，力学中的各种定律和各种方程，都是讲在一定条件或过程中的不变量。都可以统一纳入不变量的理论中去讨论。

从比较一般的观点给出不变量的定义是, 一个函数 在变换群 作用下称为不变量，如果有

这个定义说明不变量在任何单参数群上保持常数。在变换群中, 最重要的一类群是给了 点和 点，若有一个 使 变到 点, 即 使 .

从变换的观点来看问题，不仅动力系统的任何第一积分可以看作不变量，连续介质力学中的本构关系，控制力学规律的各种方程也可以看作不变量。所以可以从不变量的角度来研究力学中的所有问题。例如，力学中量纲分析，实际上就是讨论在时间、空间和质量的度量单位变换下力学系统不变的性质。而度量单位的变换构成一个变换群。

把这个思想提升到理论高度的是一位德国女数学家诺特(Amalie Emmy Noether，1882-1935)，她的结果被后人称为诺特定理。这个定理是说：客观运动每一种变换群作用下的不变性都对应于一个物理量的守恒定律，反之亦然。上面说的不变量，可以推广，把一个微分方程在变换之下不变，也可以称为微分不变量。诺特定理说如果一个动力系统在一个变换下不变，则这个动力系统就存在一个守恒律。这个定律把找寻不变量的问题转化为一个寻找变换群的问题。

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