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偏微分方程(力学的几何化)

力学,几何,黎曼偏微分方程(力学的几何化)

发布时间：2019-02-08加入收藏来源：互联网点击：

前言

从 19 世纪开始，力学和物理中使用的几何学的语言越来越多，或者说力学和物理规律用几何语言来表述。这种趋势被称为物理的几何化。

力学是整个自然科学最早精确化的学科。力学是研究物质在空间运动的学科，所以力学尤其是和几何学有着不可分割的联系。也可以说，力学是几何化最早最深入的学科，它是随着历史发展逐步深入的。可以把从阿基米德开始的有限自由度力学与数学的关系的特点归纳如下^[1]：

从阿基米德到哥白尼、斯梯芬时代，力学的研究内容主要是静力学和天体的圆运动。在几何方面的主要工具是欧氏几何, 相应的计算工具是常量的代数运算。

从伽利略、惠更斯到牛顿、莱布尼兹的时代，力学研究的主要内容是自由质点的运动，特别是在引力作用下的自由质点的运动。在几何方面的主要工具是解析几何，特别是有关圆锥曲线的解析几何。在计算方面的主要工具则是引进了变量，发明了微积分，而且微积分的发明人牛顿与莱布尼兹自己也是著名的力学家，是那个时期的力学学科的开拓者。

从拉格朗日到哈密尔顿和雅科比时代，力学的主要研究内容是约束运动。在几何方面引进了 维空间的概念，后来经过黎曼的严格化，成为流形或黎曼几何。而在分析方面引进了泛函的概念，并且发展了求泛函极值的方法，也就是变分法。拉格朗日自己就是早期开拓变分法的主将。

在 19 世纪末，力学又进入了一个重要的新阶段，这就是以庞加莱与李亚普诺夫为代表的动力系统的定性理论时代。定性理论与运动稳定性的研究本来是从天体力学中提出来的一个理论课题，之后发现在一切力学系统中，甚至在由一切非线性常微分方程决定的系统中都有普遍理论与应用意义。简单说，定性理论研究系统解的性质随参数变化的方向，例如有没有周期解的变化、有没有极限环的变化、解稳定与不稳定的变化等等。

相应的几何方面的主要工具就是拓扑学和微分拓扑学，而相应的计算工具是同伦与外微分等。力学中的定性理论的开拓者庞加莱本人也是拓扑学的奠基人之一。经过了 100 多年的发展，它现在仍然是学者都很关心的研究领域。

事实上，力学与物理的每一次认识的进步，都伴随着人们对于空间的认识的飞跃和拓广, 于是人们很自然地把所研究的物理对象的一个系统的状态看作一种空间中的一个点, 一种变化过程可以看作点在空间运动的轨迹。因之，力学与物理便逐渐变为一种扩张了的几何。

由于现代物理，如量子力学、相对论和场论的几何化的问题，已经有许多专著介绍, 本文仅限于对经典力学的几何化的几个重要方面进行讨论，作为一个入门的导引, 大致涉及对偶、动力学几何、变换与守恒。

1 力学中的对偶

对偶空间概念的引进，实际上是紧密联系于物理量的描述的, 在力学中就有不少对偶空间。如三维空间中的质点位移组成一个三维向量空间 ，若给定其基底 3 个不共面的向量 ，则任一位移均可由 来表示，这里 为位移在这组基底上的坐标。有了位移空间 ，我们可以引进其对偶空间。这个对偶空间实际上描述了空间力向量组成的空间。众所周知，力在位移上做功是一个标量，给定一个力 相当于定义了一个在位移空间上做功的线性函数

令力向量 为对偶空间 中的元素, 则 在位移空间中做功为

这种以对偶空间的方式定义力的概念和力学中最初以大小方向作用点定义的方式有所不同。在那里只说明了力是一个向量，而现在不仅说明了力的向量性质而且把它和 中元素即位移的关系阐明了，说明了力和位移的对偶关系。分析力学中广义力的概念也是这样引进的。

除了位移和力这一对对偶空间之外，在力学和物理学中还有许多对偶空间。如固体力学中一点的应变状态和应力状态构成了对偶空间，在一般情形下它们是六维的；在分析力学中广义力和广义位移组成一对 维的对偶空间等等。

作为一个例子，我们下面来具体分析一下质点系和刚体的平衡条件和位移约束条件。

设在位移空间 中给定一个质点的位移为 ，一个将任意的 变为 的线性函数对应于其对偶空间中的零向量，即

由于对偶是相互的，一个将任意向量 变为0的线性函数，对应于 中的零向量，即

这两件事实说明：在任意位移上做零功的力为零，而在任意力作用下都做零功的位移也为零。

引理令 维线性空间中向量 的内积对于满足约束 的任意 都为 0, 即

则可以引进乘子 ，令

令其中 为任意，所得到的 即可满足要求。

将前述事实加以推广，设在空间中有 个质点，每个质点引进一个位移 ，则这些位移构成一个 维的向量空间 ，而它的对偶空间相当于由每一点上给定的一个力 所构成的 维空间 .

显然这个力系在任意位移上做功为零的条件为

如果给定的位移并不是任意的，比如说 个质点是约束在同一个刚体上，则 可以表示为

这里 与 为两个任意的常向量， 为空间质点的坐标向量。采用通常三维空间中向量的运算将式(4) 代入式(3)，得

由于 与 的任意性，有

这就是刚体的平衡条件。

同样，考虑作用在各点的力系任意变化下都做零功的位移所满足的条件，即考虑式(3) 在 满足刚体平衡条件(5) 时位移场应当满足的约束条件。在这种情形下，根据引理，把式(3) 与式(5) 两式联立，寻求 任意变化下 的解空间。为此，将式(5) 的两个等式分别乘以待定乘子 与 两个向量后与式(3) 相减，得

显然式(6) 可以化为

由于上式中 是任意变化的，于是得到

这也就是刚体位移的约束条件。

上面所讨论的刚体在两个相互对偶的空间内满足做零功的相互对偶的两个条件，就是刚体力学中的静力平衡条件(式(5))和运动学几何条件(式(8)).

对于连续介质，以弹性力学为例。

若弹性体一点的位移为 ，其在直角坐标中的分量为 , 则应变张量 各分量为

下标 1, 2, 3 对应于 .

作用在弹性体一点的应力张量为 , 分量为 .

令弹性体为 ，其边界为 ，在 上作用有体力 ，边界 上作用有面力 .

现在考虑对于任何 下述不变量为零的条件

对上面的第 3 个积分进行分部积分就可以得到

由于 的任意性，所以一定有

这就是弹性力学问题的应力平衡方程和应力边界条件。

现在要讨论在满足平衡方程的应力任意变化条件下式(10) 成立时，位移应当满足什么条件。由于式(11) 是对于应力的 2 个约束，所以应当在讨论式(10) 是否成立时引进不定乘子 ，于是有

经过消去相同的项并且对最后一个积分进行分部积分，再考虑 的任意性，就会得到

式中右边是应变分量的位移表达式(9).

上面两个例子说明，由于引进对偶的概念，由物体运动的规律，可以通过对偶得到作用在物体上的力的规律。由应变表达能够对偶得到平衡条件。反之亦然。

同样，力学中有大量的对偶的规律，我们只要对一个方面研究清楚了，就能够通过对偶关系得到相应的对偶量的规律。

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