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一尺九(《九章算术》原文)
几何,二十,答曰一尺九(《九章算术》原文)
发布时间：2019-02-08加入收藏来源：互联网点击：
〔此周与上觚同耳。周、径相乘，各当一半。而今周、径两全，故两母相乘 为四，以报除之。于徽术，以五十乘周，一百五十七而一，即径也。以一百五十 七乘径，五十而一，即周也。新术径率犹当微少。据周以求径，则失之长；据径 以求周，则失之短。诸据见径以求幂者，皆失之于微少；据周以求幂者，皆失之 于微多。
淳风等按：依密率，以七乘周，二十二而一，即径；以二十二乘径，七而一， 即周。依术求之，即得。〕 又术曰：径自相乘，三之，四而一。
〔按：圆径自乘为外方，三之，四而一者，是为圆居外方四分之三也。若令 六觚之一面乘半径，其幂即外方四分之一也。因而三之，即亦居外方四分之三也。
是为圆里十二觚之幂耳。取以为圆，失之于微少。于徽新术，当径自乘，又以一 百五十七乘之，二百而一。
淳风等按：密率，令径自乘，以十一乘之，十四而一，即圆幂也。〕 又术曰：周自相乘，十二而一。
〔六觚之周，其于圆径，三与一也。故六觚之周自相乘为幂，若圆径自乘者 九方。九方凡为十二觚者十有二，故曰十二而一，即十二觚之幂也。今此令周自 乘，非但若为圆径自乘者九方而已。然则十二而一，所得又非十二觚之幂也。若 欲以为圆幂，失之于多矣。以六觚之周，十二而一可也。于徽新术，直令圆周自 乘，又以二十五乘之，三百一十四而一，得圆幂。其率：二十五者，周幂也；三 百一十四者，周自乘之幂也。置周数六尺二寸八分，令自乘，得幂三十九万四千 三百八十四分。又置圆幂三万一千四百分。皆以一千二百五十六约之，得此率。
淳风等按：方面自乘即得其积。圆周求其幂，假率乃通。但此术所求用三、 一为率。圆田正法，半周及半径以相乘。今乃用全周自乘，故须以十二为母。何 者？据全周而求半周，则须以二为法。就全周而求半径，复假六以除之。是二、 六相乘，除周自乘之数。依密率，以七乘之，八十八而一。〕 今有宛田，下周三十步，径十六步。问为田几何？答曰：一百二十步。
又有宛田，下周九十九步，径五十一步。问为田几何？答曰：五亩六十二步 四分步之一。
术曰：以径乘周，四而一。
〔此术不验，故推方锥以见其形。假令方锥下方六尺，高四尺。四尺为股， 下方之半三尺为句。正面邪为弦，弦五尺也。令句弦相乘，四因之，得六十尺， 即方锥四面见者之幂。若令其中容圆锥，圆锥见幂与方锥见幂，其率犹方幂之与 圆幂也。按：方锥下六尺，则方周二十四尺。以五尺乘而半之，则亦锥之见幂。
故求圆锥之数，折径以乘下周之半，即圆锥之幂也。今宛田上径圆穹，而与圆锥 同术，则幂失之于少矣。然其术难用，故略举大较，施之大广田也。求圆锥之幂， 犹求圆田之幂也。今用两全相乘，故以四为法，除之，亦如圆田矣。开立圆术说 圆方诸率甚备，可以验此。〕 今有弧田，弦二十步，矢十五步。问为田几何？答曰：一亩九十七步半。
又有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七。问为田几何？答 曰：二亩一百五十五步八十一分步之五十六。
术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。
〔方中之圆，圆里十二觚之幂，合外方之幂四分之三也。中方合外方之半， 则朱青合外方四分之一也。弧田，半圆之幂也。故依半圆之体而为之术。以弦乘 矢而半之，则为黄幂，矢自乘而半之，则为二青幂。青、黄相连为弧体，弧体法 当应规。今觚面不至外畔，失之于少矣。圆田旧术以周三径一为率，俱得十二觚 之幂，亦失之于少也，与此相似。指验半圆之幂耳。若不满半圆者，益复疏阔。
宜句股锯圆材之术，以弧弦为锯道长，以矢为锯深，而求其径。既知圆径，则弧 可割分也。割之者，半弧田之弦以为股，其矢为句，为之求弦，即小弧之弦也。
以半小弧之弦为句，半圆径为弦，为之求股。以减半径，其余即小弦之矢也。割 之又割，使至极细。但举弦、矢相乘之数，则必近密率矣。然于算数差繁，必欲 有所寻究也。若但度田，取其大数，旧术为约耳。〕 今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步。
〔此欲令与周三径一之率相应，故言径五步也。据中、外周，以徽术言之， 当径四步一百五十七分步之一百二十二也。
淳风等按：依密率，合径四步二十二分步之十七。〕 问为田几何？答曰：二亩五十五步。
〔于徽术，当为田二亩三十一步一百五十七分步之二十三。
淳风等按：依密率，为田二亩三十步二十二分步之十五。〕 术曰：并中、外周而半之，以径乘之，为积步。
〔此田截而中之周则为长。并而半之知，亦以盈补虚也。此可令中、外周各 自为圆田，以中圆减外圆，余则环实也。〕 又有环田，中周六十二步四分步之三，外周一百一十三步二分步之一，径十 二步三分步之二。
〔此田环而不通匝，故径十二步三分步之二。若据上周求径者，此径失之于 多，过周三径一之率，盖为疏矣。于徽术，当径八步六百二十八分步之五十一。
淳风等按：依周三径一考之，合径八步二十四分步之一十一。依密率，合径 八步一百七十六分步之一十三。〕 问为田几何？答曰：四亩一百五十六步四分步之一。
〔于徽术，当为田二亩二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也。依周 三径一，为田三亩二十五步六十四分步之二十五。
淳风等按：密率，为田二亩二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也。〕 术曰：置中、外周步数，分母子各居其下。母互乘子，通全步内分子。以中 周减外周，余半之，以益中周。径亦通分内子，以乘周为实。分母相乘为法。除 之为积步。余，积步之分。以亩法除之，即亩数也。
〔按：此术，并中、外周步数于上，分母子于下，母互乘子者，为中外周俱 有余分，故以互乘齐其子，母相乘同其母。子齐母同，故通全步，内分子。半之 知，以盈补虚，得中平之周。周则为从，径则为广，故广从相乘而得其积。既合 分母，还须分母出之。故令周、径分母相乘而连除之，即得积步。不尽，以等数 除之而命分。以亩法除积步，得亩数也。〕
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