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彼得拉克(彼得拉克中世纪黑暗时代)

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发布时间：2016-12-08加入收藏来源：互联网点击：

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吴靖

1632年8月10日，五个神秘的黑衣男子在一座昏暗的罗马教堂里集会，他们严肃地讨论着一个看似简单的命题——无穷小（Infinitesimals，亦称不可分量）是否存在。讨论的结果是，严令禁止无穷小的传播，永远不得传授乃至提及无穷小的概念。

但这究竟是为什么呢？难道教会就没有别的什么更重要的事情可做了吗？他们又是出于怎样的考虑，才会去禁止这样一个看似毫不相干的数学概念呢？

是的，站在我们现代人的角度来看，无穷小这个概念，只不过是数学大家族中普普通通的一员，没什么了不起的。但在伽利略所处的17世纪，这一切可不是人们想象的那么简单——围绕着无穷小概念的那场世纪大争论（由此引出了重要的极限概念），甚至可以说是一场关乎现代世界面貌的史诗级战争。

古希腊与无穷小悖论

事实上，早在古希腊时期，无穷小量的概念就如一个鬼影般反复出现在哲人们的脑海中，久久挥之不去。哲学家芝诺为此专门编写了四个悖论，并给它们分别起了一个有趣的名字。比如，“阿喀琉斯追乌龟”证明，敏捷的阿喀琉斯永远追不上缓慢的乌龟，虽然他的速度要比乌龟快得多，但他必须首先达到两者距离的1/2位置，接下来是1/4位置，然后是1/8位置，以此类推，他将永远追不上乌龟。然而，我们凭经验却认为，阿喀琉斯肯定会追上比他慢的对手，从而导致悖论。惊人巧合的是，几乎在同一时期，中国先秦哲学家庄子在其《天下篇》中表达了如出一辙的思想：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”

“阿喀琉斯追乌龟”

同时，毕达哥拉斯的得意门生希帕索斯惊恐地发现了另一个神秘的“怪物”——无理数（Irrational number）。例如，正方形的边与其对角线，用现代术语来说，我们称这两条线之间的比例是“根号2”，它是一个无理数，亦即两条线之间没有公约数。这意味着，无论你将这两条线分成多少份，或者分割地多么小，都永远得不到它们之间的一个公约数。这就导致了一个问题，如果两条线是不可通约的，那么它们就没有共同的组成部分，因此就不存在数学原子，也就是不可分量。这些由芝诺和毕达哥拉斯的追随者们在公元前6世纪和公元前5世纪发现的古老难题，彻底改变了古代数学的进程。

如果正视这些难题和悖论，人们将不得不承认数学与物理世界之间达到一种完美契合的梦想是站不住脚的。无穷小在规模上，其数量与物理世界是不对应的，任何为实现两者的契合所作的努力最终都导致了矛盾和悖论。尽管数学推理的自身条件是严格而正确的，但它还是不能告诉我们这个世界的真实面目。在万物的核心似乎存在着一种神秘的东西，它能够逃脱最严格的数学推理，使得那些信仰理有序和永恒不变的世界的人们惊恐不安，更令人不安的是它在社会和政治上的影响，对于那些寄希望于现有等级制度和社会稳定的团队来说，无穷小量似乎打开了一扇通往“叛乱”、“冲突”和“革命”大门。后来的两次影响深远的“无穷小战争”便是这一悖论的遥远回声。

从那时起，古典数学家们开始将视线从难以解决的无穷小问题上转移开来，继而关注几何学清晰的系统化演绎推理。柏拉图开创了这一领域，他把几何学作为自己哲学体系中的正确理推理的模型，并且传说他还在自己学院的入口处刻上了“不懂几何者不得入内”的标语。尽管亚里士多德在许多问题上都与他的老师柏拉图见解不同，但他也赞同应该回避无穷小。在他的《物理学》第六册中，他权威地详细讨论了连续体悖论，并得出结论：无穷小概念是错误的，连续量可以被无限分割。

《物理学》

幸运的是，古代最伟大的数学家阿基米德充分认识到无穷小量这一概念作为一种数学工具的强大之处（尽管他也选择忽视了无穷小悖论），为了计算圆柱体或球体的体积，他把它们分割成无穷多个平行面，然后通过对其表面积求和得出正确的答案。即使存在争议，他仍然假设连续量是由不可分量构成，由此他最终得出了通过其他方式几乎不可能得到的结果。遗憾的是，后世的数学家们均绕开了他的这种新颖的数学方法，转而使用那些经过验证的几何方法以及不可辩驳的几何真理。直到16世纪，弗兰德、英国和意大利的一些数学家开始重拾阿基米德关于无穷小量的实验，重新审视其可能。同阿基米德一样，他们计算了几何图形所围成的面积和体积，并通过进一步计算运动物体的速度和曲线的斜率，而超越了这位古代大师。然而，这时距离阿基米德的时代已经过去了1800年。

于是，围绕着无穷小的两次世纪战争即将开启，交战的双方分别是对现有政治权威与宗教制度的捍卫者，以及对学术自由和政治改革的倡导者。而这场思想之战逐渐绵延到整个欧洲大陆，其中，最主要的两个战场分别是意大利和英国。在此，我们可以清晰地看到，一个看似简单的数学概念——无穷小——如何不可思议地引发和导致两个国家文明的盛衰转折，从而深刻影响了欧洲乃至世界近代历史的进程，并在很大程度上形塑了我们今天所生活的这个现代世界——它在方方面面都受到无穷小的影响和制约。

第一次“无穷小战争”与意大利的衰落

作为文艺复兴运动的起源地，意大利自中世纪中期以来一直领导着整个欧洲在各个领域的发明创造，包括政治、经济、艺术与科学。早在11-12世纪，意大利就诞生了第一批从黑暗时代兴起的城市，它们不仅在停滞已久的商业经济中发挥了至关重要的作用，还是不同形式的——从专制到共和——政治试验的实际发生地。13世纪，意大利商人成了欧洲首批最富有的银行家。从14世纪中叶开始，意大利领导了艺术和文化领域的复兴运动，其影响遍及整个欧洲。从彼得拉克到皮科·德拉·米兰多拉这样的人文主义者，从乔托到波提切利这样的画家，从多纳泰罗到米开朗基罗这样的雕塑家，从布鲁内莱斯基到贝尼尼这样的建筑师……这些杰出人才使意大利的文艺复兴运动成为人类历史的转折点。在科学领域，从莱昂·巴蒂斯塔·阿尔博蒂到莱昂纳多·皮萨诺·俾格莱 ，再到伽利略，意大利人对人类知识做出了重大贡献，并开辟了数学研究的新篇章。

因此，所有人都期待着意大利——这个在创造力和创新方面无与伦比的国家——将再次引领数学乃至科学发展的新方向。然而，令人意外的是，整个事件走向了完全相反的方向。17世纪初，无穷小量的支持者主要是“近代科学之父”伽利略和他的两位弟子：卡瓦列里和托里切利。在接到卡瓦列里寄来的那封信之前，伽利略早已功成名就。当时的伽利略，正处在他一生中权力与声誉的巅峰。但是，卡瓦列里寄来的那封信，改变了这一切。

在信里，卡瓦列里提出了一个数学问题：假如我们给定一个具体的平面图形，并在其中画出一条直线，然后我们继续在这个平面图形当中，将所有能与第一条直线平行的直线全部画出来，那么，我们是否能将这些直线与这个平面图形等同起来呢？这个问题看似简单，但它却直指无穷小问题的核心矛盾——我们可以在任何一个平面图形上画出无穷条直线，假如我们给每一条直线设定一个宽度，不管这个数值有多小，这无穷多条直线将会累积成一个无穷大的平面，而不是我们初始设定的那个具体的平面图形，但假如每条直线的宽度都是零，无穷多条直线的宽度也依然是零，也无法得到我们给定的平面图形。

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