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(无限的存在)-无限之刀锋女皇
宇宙,存在,整数(无限的存在)-无限之刀锋女皇
发布时间:2019-02-08加入收藏来源:互联网点击:
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无穷的画廊--数学家如何思考无穷
作者:[美]理查德·伊万·施瓦茨
当当
“很久之前,罗杰・彭罗斯(Roger Penrose)提出了一个被称为‘宇宙审查制度’的猜想。该猜想认为,如果奇点或者无限大真的在宇宙中存在,并且没有什么东西可以阻止它们,那么它们也将永远被困在视界之内。并不存在人们称之为‘裸奇点’的东西,所以并不存在任何能够影响视界之外的我们的宇宙的无限。这一猜想已经在很多情形下得到证明,但距离普遍证明还差很远。这是一个非常困难的数学问题。”
可能存在于我们的世界之中的另一种无限是无限小,或者说是,无限可分。如果我们有一把无比精准的尺子和一支铅笔,是否可以将一条直线段永远地划分成更小的线段,得到我们想要的尽可能小的线段?
埃利斯认为这样的想法非常荒谬。“如果我们把手指分开 10 厘米,并且真的认为手指之间有一条实实在在的点组成的线,那么在手指之间就会有无数个点。那完全是不切实际的。我认为实在无限只是一个数学概念,而非与物理世界相对应。理查德・费恩曼(Richard Feynman)说,如果他必须留下点什么给年轻一代的话,他会留下一句话,‘物质是由原子组成的’。我们有理由相信,对于时空来说也存在相似的说法 —— 时空是由最基本的‘时空的原子’组成的。如果我们把手指分隔开,手指之间确实会有大量的作为物理实体的点存在,但它们并不是无限的,也不是不可数的”
如果时空是由不可分的最小单元构成,那就必定存在一个最小的长度尺度。物理学理论确实支持这个观点。这些理论将这一比任何物体都小的长度称为普朗克长度。它的尺寸大概是10的-35次方:这个数的小数点后面有 34 个 0。现代观测仪器无法达到这样小的分辨率精度。并且从理论上来说,即使我们有能够达到这一精度的仪器,我们也无法测量任何尺寸小于普朗克长度的物体。
宇宙热狗
埃利斯对各种无限进行了重要区分。一方面,存在数学概念上的无限,例如,直线是无限可分的;另一方面,物理概念上的无限关注的是自然界中存在或不存在的真实的数量或现象。但实际上还有一种我们可能最熟悉的无限。
“如今我们要区分数学意义上的无限、物理意义上的无限,和神学家、哲学家谈论的超验的无限”,巴罗说道,“这种超验哲学是大街上的普通人非常熟悉的。如果你向他们提到无限,他们会认为他们知道你在说什么。那就像是神秘主义者对热狗推销员说的:给我做一个包含一切的热狗(双关含义是让我与一切融合,原句为 make me one with everything)。”
“在许多宗教传统中,‘一切事物的总和’可能与上帝或者宇宙的终极存在有着相同的含义。这与物理学家和数学家试图去处理的那种更加具体的事物不同。当我们回顾思想史、数学史和物理学史时,会发现,有人信仰数学上的无限;有人信仰物理学上的无限;有人怀疑任何其他形式的先验无限。将这些对不同类型无限的信仰与怀疑进行组合,我们得到了 2³=8 种不同的选择。”
对无限的意见确实存在分歧。巴罗和阿吉雷都很乐意接受数学意义上的无限,但都没将物理意义上的无限拒之门外。“发展一种包含‘无限’这一概念的实用理论是完全没有问题的”,阿吉雷解释说,“作为有限的个体,我们只能体验到整个宇宙中有限的一部分。但原则上,我找不出任何理由来限制宇宙应该是有限还是无限的。”
另一方面,埃利斯并不相信物理意义上的无限的存在。他指出在与物理有关的数学论证中使用无限大会带来潜在的问题。他提到了数学家大卫・希尔伯特(David Hilbert)的一个思想实验:假如我们有一座有无数间房间的旅馆,并且这个旅馆住满了客人。但是如果我们请住 1 号房间的客人换到 2 号房间,2 号房间的客人换到 3 号房间 …… 依此类推,每一个房间的客人都换到后一个房间下榻,那么这个旅馆的 1 号房间就又可以再住进新的客人 —— 这就产生了一个悖论:因为不存在最大的数,所以这个旅馆的 1 号房间总是可以住进新的客人,并且保证每个人都有住的地方。
由于这样的悖论的存在,我们在物理情境下使用“无限”概念的时候要非常小心。“有时当人们谈论无限时,他们其实指的是一个非常非常大的数。他们实际上是把‘无限’作为这个非常大的数的一种暗语。这种情况下,推测一下这个非常大的数是多少,并且只谈论这个大数而不是无限,会更有益处。有时候人们谈论无限,其实是指它的深层含义 —— 会产生悖论的那种含义。如果一个物理学论证或其他证明依赖于这样矛盾的依据,那它就是一个错误的论证,并且应该被其他更切实的论证取代。”
总之,关于物理世界中无限的存在性之争尚无定论。在缺乏具体的科学解答的情况下,寻求哲学的帮助便在情理之中。“重要的是让物理学家和哲学家在一起交流”,阿吉雷说,“我的许多物理学家同事都对哲学家有一种印象 —— 认为他们根本不了解物理学,他们在谈论、批判物理学,但他们却对物理学却不甚了解。或许过去有些哲学家是这样,现在有些哲学家也是这样。但和我交流讨论的哲学家们确实是真的了解物理学。我把他们视为思考这些基本问题的专家。相比于更倾向于经验主义和实用主义的物理学家来说,他们能够从更大的和不同的视角来看待这个问题。这一点是非常难能可贵的。”
以下是本文的精彩评论
评论一
关于无限的本质:从整数说起 ……
这是个非常深奥和严肃的问题。关于无限,有许许多多基本问题需要解决,其中的一部分可能有助于阐明关于无限的更深层次的性质。
举个简单的例子,比如整数。作为一个单一实体,它必定包括了“所有的整数”。这里需要注意,这是对一类具有某一特定性质的数的统一集合的一种描述方式。在这种单一实体的“整数”的概念下,从外部(即把“整数”视为一个整体)是不存在能够分辨出单个数字的特定结构的。这是无限的不可计算本质。
这也正是这类无限悖论的源头所在。如果所有的整数都有了,那么这个结构就完整了,它就成为作为整体的所有整数的一种性质,就像类维度的域一样。所以一方面来说,我们有一个统一的无限域,一个无限的单一实体。在这个域中,只有所有单独的的整数被看作一体时,这个无限才是统一的。另一方面,把“整数”的内容看作单独的一个个整数,这些整数的数量是无限多。这样就又出现了悖论。有趣的是,在这种无限的观点看来,似乎存在着类似“波粒二象性”的悖论。
希尔伯特旅馆是对“无限”的边界的另一种解释。这种解释基于“无限”内部的基本组成部分。它假定没有对大小的限制,所以我们可以无限制地增大整数 —— 这是一个不确定性的、无限的边界的局部视图。“类维度”的视角则是把整数的无限看作是所有整数的一个完整的、固定的、无法计算的属性。
以上我所给出的关于整数无限性的描述创造出了一种有趣的观点。作为类维度实体的整数的无限性质代表了一种状态的改变 —— 从单个整数的视角转变为作为统一整体的整数的视角。这种无限指代整数的性质,因而是无法计数的实体。作为单个数的整数却是可数的,尽管是无限的。
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