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三角形的重心为什么相交于一点？

重心,角形,向量三角形的重心为什么相交于一点？

发布时间：2020-12-06加入收藏来源：互联网点击：

　　延长射线AG,交BC于D,继续延长,使得GD = DE = AG/2.

　　连接EB,EC,

　　四边形GBEC为平行四边形.

　　EB = GC

　　延长射线PG,

　　过点B作PG的延长线的垂线,垂足为F.

　　过点E作PG的延长线的垂线,垂足为H.

　　BE与PG的延长线的交点为点Q.

　　则,因GC//BE,角CGP = 角EQG = 角BQF

　　GH = GE*cos(EGH) = GA*cos(AGP)

　　HF = EB*cos(BQF) = GC*cos(EQG) = GC*cos(CGP)

　　而

　　GH + HF = GF = GB*cos(BGF) = GB*cos(PI-BGP) = -GB*cos(BGP),

　　因此,

　　GA*cos(AGP) + GB*cos(BGP) + GC*cos(CGP) = 0,

　　GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3PG^2

三角形重心

　　= PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2PG[GA*cos(AGP) + GB*cos(BGP) + GC*cos(CGP)]

　　= PA^2 + PB^2 + PC^2

　　利用上面的结论,

　　令P与A重合,有

　　GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GA^2

　　= AB^2 + AC^2 ...(1)

　　令P与B重合,有

　　GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GB^2

　　= AB^2 + BC^2 ...(2)

　　令P与C重合,有

　　GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GC^2

　　= BC^2 + AC^2 ...(3)

　　(1),(2),(3)相加,有

　　3[GA^2 + GB^2 + GC^2] + 3[GA^2 + GB^2 + GC^2] = 2[AB^2 + BC^2 + AC^2],

　　GA^2 + GB^2 + GC^2 = [AB^2 + BC^2 + AC^2]/3 = (a^2 + b^2 + c^2)/3.

　　证毕.

记忆方法

三条中线必相交，交点命名为“重心”

重心分割中 线段，线段之比二比一；

向量关系

三角形重心

O是重心，向量OA+向量OB+向量OC=零向量。

回答于 2019-09-11 08:43:50

确定是一点吗？那你说，是哪一点？指出来吧

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