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三角形的重心为什么相交于一点？
重心,角形,向量三角形的重心为什么相交于一点？
发布时间：2020-12-06加入收藏来源：互联网点击：
三角形的重心为什么相交于一点？
回答于 2019-09-11 08:43:50
回答于 2019-09-11 08:43:50
重心这个概念是一个想象的等效概念。一个物体每部分的质量都受重力的作用，将其想象为质量聚集于一个点上所受的重力，而这个等效的点一般我们认为是一个点。
对于质量分布均匀的几何形状，重心和几何图形的中心是重合的。
回答于 2019-09-11 08:43:50
三角形中，两边的中线交于一点这是一定的，下面只要求证另一边的中线一定也过这点即可以了。
可设be交ad于h，同理可得dh/ah=eh/bh=1/2
所以h与g重合，即得证
回答于 2019-09-11 08:43:50
因为重心有且只有一个
回答于 2019-09-11 08:43:50
外心：三角形外接圆的圆心，也是三边中垂线交点
内心：三角形内切圆的圆心，也是三条角平分线交点
垂心：三条垂线的交点
重心：三条中线的交点
重心和内心外心完全不是一个含义，1楼和3楼的说法我不能认同。重心只是一个定义而已，和物理上的重心不是一个概念吧。重心唯一一个可能涉及中考的就是重心定理，顶点到重心长度与重心到此顶点所对边中点的长度之比为2：1
回答于 2019-09-11 08:43:50
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
三角形重心
例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。
求证：EG=1/2CG
证明：过E作EH∥BF交AC于H。
∵AE=BE，EH//BF
∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)
又∵ AF=CF
∴HF=1/2CF
∴HF:CF=1/2
∵EH∥BF
∴EG:CG=HF:CF=1/2
∴EG=1/2CG
三角形重心
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
证明方法：
在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。根据重心性质知：
OA'=1/3AA'
OB'=1/3BB'
OC'=1/3CC'
过O，A分别作a边上高OH'，AH
可知OH'=1/3AH
则，S △BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S △ABC
同理可证S △AOC=1/3S △ABC
S △AOB=1/3S △ABC
所以，S △BOC=S △AOC=S △AOB
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）
证法一：
设三角形三个顶点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3) 平面上任意一点为（x 0，y 0） 则该点到三顶点距离平方和为：
(x 1-x 0) 2+(y 1-y 0) 2+(x 2-x 0) 2+(y 2-y 0) 2+(x 3-x 0) 2+(y 3-y 0) 2
=3x 0 2-2x 0(x 1+x 2+x 3)+3y 0 2-2 0y(y 1+y 2+y 3)+x 1 2+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2
=3[x 0-1/3*(x 1+x 2+x 3)] 2+3[y 0-1/3*(y 1+y 2+y 3)] 2+x 1 2+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2-1/3(x 1+x 2+x 3) 2-1/3(y 1+y 2+y 3) 2
显然当x=(x 1+x 2+x 3)/3,y=(y 1+y 2+y 3)/3（重心坐标）时
上式取得最小值x 1 2+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2-1/3(x 1+x 2+x 3) 2-1/3(y 1+y 2+y 3) 2
最终得出结论。
证法二：由性质8（卡诺重心定理）可得出结论。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，
即其坐标为[(X 1+X 2+X 3)/3,(Y 1+Y 2+Y 3)/3]；
空间 直角坐标系—— 横坐标：(X 1+X 2+X 3)/3，纵坐标：(Y 1+Y 2+Y 3)/3
5、三角形内到三边距离之积最大的点。
三角形重心
证明：如图所示，点P是△ABC内的一点，连接PA，PB，PC，作点P到BC、AC、AB的垂线段，垂足分别为D、E、F，延长AP交BC于M。记△ABC的面积为S，BC为a，AC为b，AB为c，PD为a'，PE为b'，PF为c'。
∵aa'/2+bb'/2+cc'/2=S△BCP+S△ACP+S△ABP=S
∴aa'+bb'+cc'=2S
由均值不等式知，[(aa'+bb'+cc')/3]^3≥aa'bb'cc'=(abc)*(a'b'c')，当且仅当aa'=bb'=cc'时等号成立。
∴a'b'c'≤[(aa'+bb'+cc')/3]^3/(abc)=(S/3)^3/(abc)=S^3/(27abc)，当且仅当aa'=bb'=cc'时等号成立。
∴a'b'c'只有当aa'=bb'=cc'时才会取得最大值。
此时，S△ABP=cc'/2=bb'/2=S△ACP，由燕尾定理知，BM/CM=S△ABP/S△ACP=1。
∴此时BM=CM，M是BC的中点，AM是△ABC的中线，P在△ABC中BC边的中线上。
同理可证此时P在△ABC中AB、AC边的中线上。
∴当a'b'c'最大时，P是△ABC的重心，即重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。
7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）
8、卡诺重心定理：若G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点，则PA^2+PB^2+PC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3PG^2=1/3(a^2+b^2+c^2)+3PG^2
证明：GA^2 + PG^2 = PA^2 + 2GA*PGcos(AGP)
GB^2 + PG^2 = PB^2 + 2GB*PGcos(BGP)
GC^2 + PG^2 = PC^2 + 2GC*PGcos(CGP)
GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3PG^2 = PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2PG[GA*cos(AGP) + GB*cos(BGP) + GC*cos(CGP)]
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