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无界、无穷大、发散到底什么区别？

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发布时间：2020-12-06加入收藏来源：互联网点击：

无界、无穷大、发散到底什么区别？

回答于 2019-09-11 08:43:50

回答于 2019-09-11 08:43:50

无界、无穷大、发散是高等数学中研究数列或者函数极限与连续性时的重要概念，要想弄清楚他们的区别就得讨论它们的对立面：有界、无穷小、收敛。




有界与无界 对于一个函数，如果在某个特定区间里，总存在一个正数M，该函数的绝对值小于等于M，我们就称该函数在这个区间上是有界的，否则是无界的。


无穷小与无穷大 对于一个函数，如果自变量在趋于某个值时，函数值趋于零，则称该函数为该极限过程中的无穷小，反之，当自变量趋于某个值时，函数值的绝对值无限增大，则称该函数为该极限过程中的无穷大。

收敛与发散 对于一个数列，当n趋于无穷大或者无穷小时，数列有极限A，则称数列收敛于A；若数列没有极限，则称数列发散。




那它们之间有啥关系呢？




若数列收敛，则其极限必唯一。


若数列收敛，则该数列是有界的。

若数列单调增加且有上界，则该数列收敛。

若数列单调减少且有下界，则该数列收敛。

在同一极限过程中，若某个函数是无穷大，则它的倒数是无穷小；如果该函数是无穷小，且该函数不为零，则该函数的倒数是无穷大。




以上只是浅显地介绍了它们的区别，要想真正弄明白还需要系统学习高等数学，学习和感悟其中的数学思维和方法。

回答于 2019-09-11 08:43:50

如果当x趋近x0时函数为无穷大，那么它一定在x0的某个邻域无界。但如果一个函数在x0的某个邻域无界，不能说明当x趋于x0时函数为无穷大。要为无穷大，不仅仅是无界，还需要持续地发散到无穷。什么意思我举个例子。xn=nsin(nπ/2)，这个数列的每一项写出来是1，0，-3，0，5，0，-7，0，……显然这个数列无界，但它不是无穷大数列，原因就在于有部分点把xn拉回了原点，它不能持续地发散到无穷大，或者说总存在某些n使得xn不能大于我任意给定的正数。这就是二者的区别。