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如何理解赌徒谬误和大数定律的关系？

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发布时间：2020-12-06加入收藏来源：互联网点击：

如何理解赌徒谬误和大数定律的关系？

回答于 2019-09-11 08:43:50

回答于 2019-09-11 08:43:50

周润发曾经演过一个经典电影《赌神》，在这部电影中，发哥从容自信的微笑，精彩绝伦的心理战让观众大呼过瘾。也许有人会想：现实生活中有没有这样一种人，他们的赌术极其高明，可以从容的从赌场中赚钱呢？

赌徒谬误

我们来看一个经典的问题：有一个赌徒，我们叫他A先生，来到赌场玩赌大小的游戏。

骰子有六个面，分别有1-6点，其中1、2、3点为“小”，4、5、6点为“大”。我们知道：一个标准的骰子投出任何一个点数的概率都是相同的，所以投出“小”和“大”的概率都是50%。

A先生刚刚学习了雅各布.伯努利提出的大数定律，所以他知道：当投骰子的次数N趋向于无穷多时，出现“小”和“大”的次数都接近于N的一半。

A先生发现第一次投骰子开出了“大”，于是他高兴地认为：因为大小两种结果概率相同，第一次开“大”，那第二次开“小”的概率就会增大。于是他兴奋的押了“小”。结果第二次依然开出了大，他虽然输了钱，但是依然相信自己的判断：既然前两次开“大”，第三次开“小”的概率就更高了…如此他一共下注了五次“小”，结果连续开了五次“大”，他的钱输光了，伤心失望透顶的离开了赌场。

A先生的问题在哪里呢？其实这是一种非常普遍的错误想法：赌徒谬误。

投骰子是一种独立的随机事件，第一次投掷的结果与第二次没有任何关联，因此第一次开出“大”，第二次开出“大”和“小”的概率依然各是50%；前两次开出“大”，第三次开出“大”和“小”的概率也各是50%。连续开出5次大并不奇怪，现实的赌局中连续开出十几次大的情况也经常会出现，这样的“长龙”往往会让一些人输的倾家荡产。

那么，这和伯努利大数定律不矛盾吗？

伯努利大数原理告诉我们：骰子出现“大”和“小”的概率相等，因此开出“大”和“小”的次数也接近于相等。但是这有一个重要的前提：大数。 也就是说：只有在投骰子次数足够多时，这个规律才是成立的。例如如果连续投出100万次骰子，那么会有接近50万次开大，50万次开小。可是哪个赌徒有时间和精力玩100万次游戏呢？而且，即便游戏进行了100万次，第100万零1次投掷骰子时，大和小的概率又都是50%。

赌徒谬误经常被人用在生活当中，得出了一些错误的结论。例如：有些人买彩票喜欢买“史上未出号码”，因为他们认为：所有号码出现的概率都相同，如果某些数字组合从没有出现过，那么下次开出的概率就会增大。实际上，一个史上未出的彩票号码组合和“1、2、3、4、5、6”这样的连号组合，中奖概率都是相同的。还有人把赌徒谬误用在生孩子问题上，认为：生男生女的概率都是50%，因此如果第一胎生了一个女孩，那再生第二胎是男孩的概率就会增大。这种想法也是错误的，准确的表述是：如果一个人生了100万个孩子，那么会有大约50万个男孩和50万个女孩。

输了就加倍

吸取了第一天的教训，A先生已经明白不能通过前一次开出的结果预测下一次的大小了。不过，他又自作聪明的想出一种“必胜”的方法：输了就加倍。

他的思路是这样的：

首先，找到押大小这种1赔1的游戏。然后，下注1块钱。

如果第一次押赢了，游戏结束。

如果第一次押输了，那么继续翻倍下注，下注2元。

假如第二次下注赢了，游戏结束。

假如第二次又输了，那么在第三次下注4块钱。

….

我们把这个过程表示在一张图中如下：

也就是说，这个赌徒要一直翻倍下注到赢为止。如果第一次就赢了，那么就赢了1元。如果第一次输了而第二次赢了，那么输了1元赢了2元，净赢1元。如果前两次都输了而第三次赢了，那么输了1+2=3元，而赢了4元，净赚1元…如此，只要他坚持到赢的那一次，就一定会赚到一块钱。

A先生高高兴兴的用这种方法赌博，最初还好每次都赚到1元钱，但是有一次运气很差，连续输了9次，输光了自己全部的钱，离开了赌场。

表面上看，这种策略一定能赚到钱。但实际上这是一种非常不好的策略。通过刚才的分析我们知道：五五开的游戏，连续输十几次其实并不罕见，如果连续输了9次，那么输的钱总数就是1+2+4+8+16+32+64+128+512=1023元。下一次就要下注1024元才有可能翻本。假如第一次下注了1万元，那么第十次需要下注1024万，很多人并没有那么多钱。即便有，赌场也有下注的上限，如果上限是一千万，那么1024万就根本无法下注。而且，即便这个赌徒很有钱，赌场也没有下注上限，最终这个赌徒成功的用1024万翻本，他也只赚到了一万元钱。冒着如此巨大的风险，赚着如此少的利润，实在是得不偿失。在现实中，用这种策略赌博的人基本都是倾家荡产。

蒙特卡罗方法

经过了前两次的失败，A先生决定做一个技术流，寻名师访高友，向历史上那些著名的赌徒学习。他发现了一个曾经在赌场中赚了钱的方法：蒙特卡罗方法。

蒙特卡罗不是一个人名，而是一个赌场的名字。蒙特卡罗赌场位于法国南部的小国摩纳哥。十九世纪中叶，摩纳哥国王为了解决财政危机，设立了第一个赌场，150多年来这个小小的国家因为赌博和旅游业的发达成为顶级富国。

蒙特卡罗方法最初的实践者是一个名叫约瑟夫.贾格尔的英国人。1873年，他带着全部的积蓄来到了蒙特卡罗赌场，决心要改变自己的命运。他开始研究一种叫做轮盘的赌博游戏。

这种游戏的规则是：轮子边缘有38个格子，一个小球在轮盘中旋转，停止时落入其中某个格子。如果下注押中，1赔35。

约瑟夫知道：每个数字出现的概率是1/38，但是赢了却1赔35，划不来。他要赚钱必须研究：是否有哪几个数字出现的概率更大呢？

他发现这个赌场中有6个轮盘，于是雇用了6个助手，每个助手观察一个轮盘，记录每次开出的数字，连续记录了6天。当他把这些数据汇总起来的时候，发现前五个盘子似乎没有什么规律，每个数字出现的频率大约都是1/38，但是第六个盘子中的9个数字出现的次数显著的多于其他数字。他想到:这一定是由于轮盘器械的问题，造成了这9个数字出现的概率大。

第七天，他来到赌场，下注第六个盘子中那几个概率大的数字，果然赚了一大笔钱。赌场发现他一直在赢钱之后及时的把他列入了禁止入内的黑名单。但是约瑟夫已经带着他赚的钱投资房地产去了。他的这段传奇经历，就被称为蒙特卡罗方法。

读了蒙特卡罗的故事，A先生信心满满，也雇佣了6个助手，认真记录了一个赌场中6个轮盘的开奖结果。经过一周的辛劳，A先生发现：似乎所有的轮盘开奖结果都异常的平均，完全没有哪一个数字出现的次数显著的多。为了给这6个助手发工资，A先生又付出了一大笔钱。

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