您现在的位置: 首页 > 网站导航收录 > 百科知识百科知识

平均不等式最好的证明方法是什么？

平均,定理,不等式平均不等式最好的证明方法是什么？

发布时间：2019-02-08加入收藏来源：互联网点击：

问题补充： 平均不等式证明方法很多，目前最好最简的方法是什么？平均不等式揭示了什么本质意义？

回答于 2019-09-11 08:43:50

回答于 2019-09-11 08:43:50

要说平均不等式，先说说基本的算术平均和几何平均的概念：

算术平均是n个数加起来除以n。

几何平均是n个正数乘起来开n次方。

平均不等式是说：n个正数的几何平均数总不大于它们的算术平均数; 反过来说算术平均总不小于几何平均。

这是个很有趣的结论，应用也比较广泛。在n=2，也即有两个数的时候，可以画一个图来解释：

直角三角形ABC斜边上的高在斜边上的垂足E把斜边分成了两条线段BE, CE。那条高AE是这两条线段BE, CE的比例中项，也就刚好是两线段的几何平均；而斜边的一半也就是斜边上的中线AD是这两条线段的算术平均。那么可以看到，斜边上的高AE是不可能大于斜边上的中线AD的，至多相等。

（AE是BE和CE的几何平均，AD是算术平均，AE≤AD）

平均值不等式有时也称为柯西不等式。柯西是法国数学家，在他的著作里给出了证明方法，先用根式的方法证明了n是2的正整数幂时成立，然后推导出一般情形下n>=2时成立。

后来人们又用了很多种方法证明了平均不等式，其中比较快捷的方法是对n=2时成立的基础上（上图），运用数学归纳法来证明。

然而答者在这里介绍一种更为快捷的证明方法，简单得不可思议，而且背后隐藏着数学的众多秘密！我们先建立一定的基础：

首先，几何平均涉及到相乘和开方，利用对数运算它可以等价为n个数的对数的算术平均再反取相应的指数运算的值。这里对数运算可以直接用自然对数g(x)=ln(x)，然后相应的指数函数（反函数）是e^(x)。于是我们把g暂时称为几何平均的“相关函数”（函数有时也称为映射），也就是g代表了几何平均。


同样的思想，从算术平均也可以”提炼”出一个相关函数h(x)=x(x>0)。想想看是不是？算术平均是不是相应的n个数的h运算结果的算术平均值，然后反过来取h的反函数后的值？因为h运算和它的反运算都就是等于算数的本身嘛！上面的基础很简单，另外一个重要的基础是2007年答者新发表的一条很有趣的定理（代称：定理L），说：

对于上面的g和h，如果g，h，h’/g’(导数比值)3个函数都单调，且有奇数个函数（1个或3个）是单调增时，那么g代表的平均（Mg）小于等于h代表的平均（Mh）；反之有奇数个函数是单调减时，Mg大于等于Mh！

好了，证明开始：g(x)=lnx和h(x)=x都是单调增的，h’/g’=x’/(lnx)’=1/(1/x)=x也是单调增的，有3个单调增了！于是根据定理得到：几何平均不大于算术平均。证明结束！

是不是简单得不可思议？？所以说这就是目前最好的平均不等式的证明方法！

那么问题来了，上面的定理L怎么来的？和平均不等式的本质有和联系？

先看看平均不等式和上面的定理L还有什么潜力可挖。

首先，算术平均（AM），几何平均（GM），还有未曾提到的调和平均（HM）在几千年前就被毕达哥拉斯和追随者研究了。只要让上面的g(x)=1/x(x>0)就得到调和平均HM。三者统称为毕达哥拉斯平均，满足 HM≤GM≤AM。另外，把上面的g(x)换成幂不为0的幂函数x^a(a不为0)，则得到一个幂平均族。而且可以证明，幂平均在a趋向于0的极限情况下，值等于几何平均，所以几何平均也可广义上被归到幂平均（lnx的导数是1/x，比0次低一次，类似于幂函数的导数低一次，也暗合了这一点）。属于幂平均的常见平均还有平方平均（a=2）。再广义一点，把g扩展为任何单调连续有反函数的函数，则得到“类算术平均值”（quasi-arithmetic mean）或“广义f平均”（generalised f-mean, Mf），f就这里的g或h。

幂平均（带上几何平均，幂a=0），有很多共性：

（1）保值性：相等的n个数的幂平均还是这个数

（2）单调性：任一数递增，则平均值递增；反之亦然。

（3）平均性：平均值总介于最小和最大值之间。

（4）齐次性：所有n数同时倍乘k>0后所得的平均，是原平均的k倍。

（5）其它。

而广义f平均满足前三点；除幂平均特例外，不满足齐次性。

幂平均，满足对于任何a<b, 则x^a代表的幂平均不大于x^b代表的幂平均，这称为幂平均定理，问题中说的平均不等式是其一部分。幂平均也可以用上面的定理L证明，而且非常简单；对于一般的广义f平均也完全可以用此定理证明，也就是说该定理是通用化的平均值比较解决方案！（反过来说，可以用上述定理来比较的平均值，是一类比较“纯正”的平均值！）

再例如g(x)=1/x(x>0)代表HM，h(x)=lnx(x>0)代表GM： 则h’/g’=(1/x)/(-x^2) = -x单调减，g单调减，h单调增，总共有1个函数单调增，故HM≤GM。把g, h对调，则得到奇数个单调减，运用定理后半部分，结果也等价！幂平均定理的一般情况，留给感兴趣的读者去做证明。非常简单！

定理L发表在《高等数学研究》2007年7月第10卷第4期85页，作为论文《论双变量同构凸函数》里的定理2推论1出现。

(该图第二行四个连等处，中间那个等号排版错误，应去除)

在该论文所论述的《双变量同构凸函数》理论中，由任意两单调函数g, h的排列，形成一种所谓的（g，h）双变量同构凸性，任何定义域相符合的非常数函数f在（g，h）的影响下可能整体或局部呈现为“同构凸”或“同构凹”，由一个不等式的方向来表征。当g，h都为y=x时，则“同构凸性”就是数学分析上的凸性，是一个最简特例！

因为（g，h）的出现，导致和凸性有一个敏锐的区别是：当g, h不同时，（g, h）对于f(x)=x的同构凸性是有呈现的！而f(x)=x在普通数学分析中是一条直线没有凸性呈现！

（g,h）对于f(x)=x的同构凸性的呈现是什么？就是定理L！！而且这种呈现有总共2^3=8种不同的可能情形！（因g，h，h’/g’各有2种变化），四种为凸，四种为凹。于是用《双变量同构凸函数》的理论来解释平均不等式的本质，它就是g，h两种相关映射对于直线f(x)=x的双变量同构凸性的呈现！

试着把g，h同时换成映射y=x，则g，h，h’/g’三个函数中有偶数个单调增，剩下一个不单增也不单减，法则失去意义，为什么？因为上面说的f(x)=x在普通数学分析中没有凸性呈现，这时对应的是“AM=AM”。那么当g，h同时换成映射lnx时，法则也无意义，对应的是“GM=GM”。

而当f(x)不为f(x)=x，也不为常数时，则h’/g’要退回另一种复杂点的形式h’(f)/g’，定理L也退回“（g，h）双变量同构凸性”的微分判定定理，也有8种情形；尤其当g，h同时为y=x时，h’(f)/g’为f的导数f’，我们熟悉的通过导数增减判别曲线凹凸的方法（微分判定定理）出来了！它就是“（g，h）双变量同构凸性”的微分判定定理2”的子形式，也就是定理L的“表姊妹”形式！

这些只有通过在一个比普通数学分析高一层次的理论角度，才能被察觉和论述！关注答者头条号了解这个理论 -《同构数学分析》！。 在其中，答者还建立了特殊的坐标系来用几何方法解释上述的一切。其中g和h作为x，y两个坐标轴的映射，其轴上的密度不同导致两个坐标各处对f(x)=x的“拉力”不同，于是f(x)=x呈现为曲线，你可以直观的看到HM≤GM≤AM！而且该理论也能解释为什么上面说可以用定理L来比较的平均值是比较“纯正”的平均值，没毛病。

 1/2    1 2 下一页 尾页