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如何简单清晰地解释哥德尔不完备定理？

命题,定理,公理如何简单清晰地解释哥德尔不完备定理？

发布时间：2020-12-06加入收藏来源：互联网点击：

如何简单清晰地解释哥德尔不完备定理？

回答于 2019-09-11 08:43:50

回答于 2019-09-11 08:43:50

库尔特。哥德尔于1931年发表了一篇重要的论文:《论数学原理和有关系统I的形式不可判定命题》。文章证明了一条后来以他的名字命名的不完全性定理(这里的完全性指的是完备性)。定理说:在任何含初等数论的相容(这里的相容通俗的讲就是不产生矛盾)的形式系统(形式系统可以简单的理解为由一些公理组成的)中，存在着不可判定命题(这句话可以简单的理解为，你即不能证明这个命题是正确的，也不能证明这个命题是错误的。)，即命题本身和它的否定在该系统中都不可证。考虑到二值逻辑(所为二值逻辑指逻辑值要么为"真“要么为"伪"两种情况必取一)中，命题和它的否定必有一真，不可判定命题是真的，为此不完全性定理实际上断言了，上述系统中存在着“真"的不可证命题。这种表述通常称之为哥德尔第一定理。

该定理还有一个推论:一个包含初等数论的形式糸统的相容性，在该系统内是不可证明的。这个表述通常称为哥德尔第二定理。哥德尔的定理用通俗的话说:就是在现有的公理和定理的条件下，存在着一些命题。它们即不能证明是正确的，也不能证明它是错误的。那么在数学中有这样的命题吗？。在数学中还真有这样的命题，那就是"连续通假设"。其实，现在人们把它当成一个公理。连续通假设通俗的讲就是，直线上的点与实数的个数一样多即点数与个数相等。

哥德尔定理是现代逻辑发展史上的一座丰碑，一个转折点，它开创了现代逻辑发展的新时期。哥德尔的不完全性定理和塔斯基的形式语言的真理论及图灵机和判定问题的理论，已被国际逻辑界赞誉为现代逻辑的三大成果。亚里士多德是古希腊最伟大的思想家。他创建了古典的形式逻辑，被西方人称之为"逻辑之父"。有人为认，现代能与亚里土多德相比的逻辑学家，只有哥德尔。他的不完全性定理。是二十世纪数学，逻辑学领域中最卓越的成果。

回答于 2019-09-11 08:43:50

什么是不完全性。大多数人的理解就是“存在不可证的真命题’，但其实不完全性是一个十分专业的逻辑学概念，不是简单几个字就能说清的。

首先还是要说一些背景性的东西。数学工作是靠数学证明来完成的，每个证明总得有个出发点，不然证明就无法开始。因此，整个数学必然要有一些不证自明的出发点，由它们出发来构建整个数学大厦。这些出发点就是数学公理。但公理为什么是正确的呢？这时似乎就只能求助于我们的直观。那些直观上非常简单，甚至根本无法想象它不对的那些数学命题就能够作为公理，比如欧式几何的五条公理：任意两点能连成一条直线、所有直角都相等...等等。这些都是看起来很trivial甚至不值一提的命题，但正是因为这样，它们才足够作为公理——因为它们看起来不可能错。

但人们逐渐发现，靠直观的公理还是有可能会错。比如集合论的公理（见 LLLBK：据说罗素悖论有解，如何解？）会导致矛盾，欧式几何的第五公理虽然说不上错但完全可以被修改为非欧几何。直觉总是有可能不靠谱的，因此有些形式主义的数学家（如希尔伯特）希望把直觉完全排除出数学。这时，谁来保证公理为真？形式主义者会说，公理没有什么真假可言，也没有什么意义，它们仅仅是人为约定的符号组成的符号串而已，数学家所做的工作无非就是按照既定的推理规则从一个符号串推出另一个符号串。

这就像下象棋一样，每个棋子有自己的移动规则，车走直线，马会被拐马脚，炮需要支炮架才能攻击，这样的理解有助于我们记住每个棋子的移动规则。但即使不这样理解，也不影响一个人会下象棋。他不必把棋子“车”理解为战车，“马”理解为马，“炮”理解为炮，“帅”理解为军队的大帅，他也可以学会下象棋并且下的不错。数学家不必理解那些数学符号的“意义”，只需要知道该如何按照既定的推导规则推理下去就行了。这样一来，数学公理系统就变为了纯形式的符号系统。

形式系统简单来说，有三部分：符号、公理、推导规则。公理是由符合组成的公式，形式系统做的事就是从公理出发，根据推理规则，机械地推导一个又一个的公式。

我举一个例子（GEB中的例子），以下这个系统叫ep系统：

符号：-, e, p

公理：x-exp-，其中x代表任意一串“-”。（如 ---e--p-, -----e----p-都是公理，注意x不是系统内的符号，只是我们为了简写这一公理模式而将-的串简写为x）

推导规则：从xeypz可以推出x-eypz-，其中xyz都代表任意一串“-”。（如，可从 --e-p-推出---e-p--）

简单地说，这个系统中的合法字符串都长这样...e...p... 字符e和p将“-”的串分成了三段，这一推导规则意为，如果一个字符串被推导出来了，那么可在这个字符串的第一段“-”串和第三段“-”串后各添加一个“-”。

这个形式系统可以从公理出发，根据推导规则推导出类似-----e--p---的字符串，推导如下：

公理：---e--p-

推出：----e--p--

推出：-----e--p---

事实上，一个形式系统就是一个字符串操作机器，它有一些公理和推导规则，然后就能哗啦啦地得到许许多多的字符串（或者叫公式）。当然，形式主义者需要先证明，自己的形式系统能够推导出所有数学中的真命题，这样才能用形式系统真正取代传统的数学研究。一旦证明了这一点，就可以不再管什么是“真”命题，而只进行纯形式的推导就够了。也就是说，虽然本质上形式系统是没有意义的，但人们希望自己的形式系统能够“表达”一些东西。在数学中，形式主义数学家希望形式系统能“表达”所有的数学真理。

这个“表达”是很神秘的概念，以上面的ep系统为例，它表达了什么？如果你进行了十几个系统内的推导，你会发现导出的公式都是类似这样的：---e-p--, -----e----p-, ----e-p---... 第一段“-”的数量等于第二段和第三段“-”的数量之和。反过来，类似 ----e-p-, -----e---p---这样不满足第一段“-”的数量等于第二段和第三段“-”的数量之和的公式是推不出来的。因此这个ep系统似乎“表达”了加法。

需要注意的是，这种“表达”关系并不是唯一的，而是我们希望它能表达什么，系统本身并没有一个固定的表达。ep系统可以表达加法——只要把e理解为equal，p理解为plus就行了。但它也同样可表达减法，只要把e理解为减法，而p理解为=就行了。

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