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相交于无穷远点的两条直线真的平行吗？

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发布时间：2020-12-06加入收藏来源：互联网点击：

相交于无穷远点的两条直线真的平行吗？

回答于 2019-09-11 08:43:50

回答于 2019-09-11 08:43:50

相交于无穷远点的两条直线在欧几里德的眼睛是不存在的。

如果你知悉德国人高斯和俄国人罗巴切夫斯基的学说，你会肯定那两条直线平行。

回答于 2019-09-11 08:43:50

这要看选取的坐标系是什么。因为数学是一种形而上的逻辑体系，它本身并不能被验证，因此数学中的各种概念取决于人如何定义其基本的公理。因此，请特别注意，数学不是科学。数学无法证伪。采用哪种数学体系完全是你自己的意志和自由。只是科学总会选择了最符合实验结果的那种。

公理是无需或者无法证明的某种认定的逻辑起点或者基础。如果证据证明公理是错误的，那么逻辑体系也随之颠覆。

欧氏几何

在欧氏几何的坐标系下，相较于无穷远的两条直线就是平行的。

欧几里得几何（简称欧氏几何）是希腊数学家亚历山大·欧几里得开创的数学系统，他在《几何学：元素》一书中对此理论体系进行了描述。欧几里得基于少量直观的公理推导出许多其他定理。虽然在欧几里得之前的早期的数学家已经陈述了欧氏几何的许多结果，但是欧几里得率先证明了这些命题能够适用于全面的演绎和逻辑系统。这个体系从平面几何开始，至今仍然作为中学数学的几何课程教授。欧氏几何是第一个公理系统和形式证明的示例。在平面几何的基础上它接着推广到三维的立体几何。欧氏几何的大部分的元素展现并很好地展现了现在所谓的代数与数论的结果。

欧几里得几何是一个公理式系统，其中所有定理均来自少量的简单公理。在非欧几里得几何学出现之前，这些公理在物理世界中被认为显然是正确的，因此所有定理都顺理成章地同样正确。但需要注意的是，欧几里德从假设到结论的推理本身从逻辑上就是有效的，与其物理现实无关。

在欧几里得的《元素》一书第一本的开头，欧几里得给出了关于平面几何的五个公理（公理都是假设），其中第五条就是关于平行线的假设：

从任意点到任意点可画出一条直线；在一条直线上可以连续延伸一条有限直线；圆心和半径确定一个圆；所有直角都相等；[ 平行假设 ]：如果两条线与第三条线相交，使得一侧的内角之和小于两个直角（即180度），则如果延伸得足够远，则两条线不可避免地必须在该侧彼此相交。

上图：a+B如果小于180度，那么两条线必定相交。如果等于180度，那么只能在无穷远处相交了。这一般人都能想得到。但这个公理隐含的一个假设是这些线位于欧氏平面上。欧几里得提出的这些体系其实隐含了不少的其它条件。

欧氏的平行假设

对于古希腊人来说，平行公理看起来比前面几个公理复杂了太多。而古希腊人的强迫症使他们渴望建立一个足够简单而且绝对确定的命题系统（这个努力值得赞扬），在他们看来，平行公理需要从更简单的陈述中推导而来才足够完美。而现在我们知道，这样的推导是不可能的，因为一个人可以用一些其它的公理跟平行假设一起构造出一个自洽的几何理论体系，但同时否定掉欧氏几何的前几个公理，这完全可能。欧几里得本人似乎认为平行公理与其他几条公理在本质上有所不同，这一点在他的书的组织形式上就可以看出来：他列出的前28个命题是无需平行公理就可以证明的。

实际上平行公理可以由许多其它描述方式来替代，这些公理在逻辑上是等价的（建立在一些在其他公理假设的基础上）。例如，普莱费尔公理指出：

在平面中，通过不在给定直线上的点，最多可以绘制一条从未与给定线相交的线。

但数学就是一个认识体系，因此认识的改变则可以导致公理的改变。那包括平行公理在内。

上图：欢迎来到非欧几何。没有九十度的直角，相交的平行线……

非欧几何的回答：球面上的平行线可以相交

可能很多人都不知道平行线在某些情况下可以相交。

我们认为平行线一定不能相交，因为我们通常默认了几何的一个前提——即欧氏几何的几何只在平面上成立。

但是，如果我们修改掉欧氏几何的任一基本假设，那么欧氏几何的体系就不一定有效或甚至完全无效了。

否定掉欧氏几何的任何一条公理，我们就进入了非欧几里得几何的领域了。

有一种非欧几何的变体称为椭圆几何（即黎曼几何）——这种几何通常适用于球形或类似球形的物体（例如我们的地球），所以通常称为球面几何。

上图：欧氏几何的最后一条公理并不像其他公理那样显而易见的不证自明。十九世纪乔治·弗里德里奇·伯纳德·黎曼提出了替代欧氏几何公理的新几何体系。黎曼几何由此诞生。

椭圆几何中发生的情况，大致可以通过以某种弯曲的平面粗略地描述。这些情况与我们通常使用的平面不同，当然最好理解的就是地理学中关于地球表面的经纬线的描述。

在椭圆几何中，如果有点P和不包含点P的直线r，就不可能画出另一条通过点P的直线s与直线r没有共同点。

这有点绕，简化一下就是：在球面上，有一条不通过点P的直线r（在我们看来是一个首尾相接的环），那么另一条通过点P的直线s就必然与直线r有交点。

但你可能会说，不对啊，地球上的纬线跟赤道都不相交的啊！

——如果你这么想，那你是对的。但实际上，在球面几何领域，直线的定义是它们总是球面上两点的最短路径，因此直线在球面几何中也称为大圆。所有大圆都具有包含它们的球面的直径。在这种几何体系中，赤道线以外的纬线都不能被视为直线。

因此，球面上的直线是可以相交的。

上图：经纬线也还算是很直观的，这个容易理解。

当然除了，求面几何还有许许多多其它的几何体系，它们的平行线可以相交或者不能相交，这完全取决于体系的公理假设。你也可以建立自己的几何体系，但是要让体系自洽就是很难的。欧氏几何只不过是顺应人类直觉，因而通俗易懂罢了。其它几何体系古怪地匪夷所思都是可能的。

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