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用小学方法算出：1+2^5+3^5+……+100^5？
自然数,公式,张氏用小学方法算出：1+2^5+3^5+……+100^5？
发布时间：2020-12-06加入收藏来源：互联网点击：
用小学方法算出：1+2^5+3^5+……+100^5？
回答于 2019-09-11 08:43:50
回答于 2019-09-11 08:43:50
千方百计公式
用小学方法计算是可以计算前n个自然数r次方的和，首先要掌握万能的千方百计公式：
它的的系数是一组张氏三角数：
A）其中最为简单的是前n个自然数的〇次幂之和等于组合数(n+1)取1，即n+1，可表示为：
0^0+1^0+2^0+...+n^0=n+1.
这里边，0^0=1.（以后给予证明.）
B）前n个自然数的和等于组合数(n+1)取2，可表示为：
1+2+3+...+n=n(n+1)/2
1+2+3+...+100
=100×101/2
=5050.
C）前n个自然数的平方和的新公式：
1^2+2^2+...+n^2
=[n(n+1)(n+2)+(n-1)n(n+1)]/6
1^2+2^2+...+10^2
=.(10×11×12+9×10×11)/6
=385.
D）前n个自然数立方和新公式：
1^3+2^3+...+n^3
=[n(n+1)(n+2)(n+3)
+4(n-1)n(n+1)(n+2)
+(n-2)(n-1)n(n+1)]/24
1^3+2^3+...+10^3
=(10×11×12×13
+4×9×10×11×12
+8×9×10×11)/24
=3025.
E）新公式：
1^4+2^4+...+n^4
=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)
+11(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)
+11(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
+(n-3)(n-2)(n-1)n(n-1)]/120
1^4+2^4+...+10^4
=(10×11×12×13×14
+11×9×10×11×12×13
+11×8×9×10×11×12
+7×8×9×10×11)/120
=25333.
F）新公式：
1^5+2^5+...+n^5
=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)
+26(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)
+66(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)
+26(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
+(n-4)(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)]/720
1^5+2^5+...+10^5
=(10×11×12×13×14×15
+26×9×10×11×12×13×14
+66×8×9×10×11×12×13
+26×7×8×9×10×11×12
+5×6×7×8×9×10×11)/720
=220825.
那么，根据此公式可计算1到100各数的5次幂的和。
1^5+2^5+3^5+4^5+...+100^5
=(100×101×102×103×104×105
+26×99×100×101×102×103×104
+66×98×99×100×101×102×103
+26×97×98×99×100×101×102
+96×97×98×99×100×101)/720
=171708332500.
也可以计算1到1000各数的5次幂的和。
1^5+2^5+...+1000^5=
(1,000×1,001×1,002×1,003×1,004×1,005+26×999×1,000×1,001×1,002×1,003×1,004+66×998×999×1,000×1,001×1,002×1,003+26×997×998×999×1,000×1,001×1,002+996×997×998×999×1,000×1,001)÷720
=167,167,083,333,250,000.
还可以计算1到10000各数的5次幂的和。
1^5+2^5+...+10000^5=
(10,000×10,001×10,002×10,003×10,004×10,005+26×9,999×10,000×10,001×10,002×10,003×10,004+66×9,998×9,999×10,000×10,001×10,002×10,003+26×9,997×9,998×9,999×10,000×10,001×10,002+9,996×9,997×9,998×9,999×10,000×10,001)÷720
=166,716,670,833,333,325,000,000.
再计算1到100000各数的5次幂的和。
1^5+2^5+...+100000^5=1.666716667083333333325E29
只要认真观察，还有很多规律的。
千方百计公式，详见《张氏数奕演》中“张氏三角数”一文。
本文根据《张氏数奕演》编写。
正是：
张氏三角数，
当今四方见。
竟敢比韦达，
亦能配贾献。
回答于 2019-09-11 08:43:50
晕๑_๑
回答于 2019-09-11 08:43:50
这不是小学学的好吗？我现在只上小学，所以对不起，没有帮到你
回答于 2019-09-11 08:43:50
呵呵……549×5-1=2744
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