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切割线定理证明（切割线定理证明不用弦切角）

切线,勾股定理,半径切割线定理证明（切割线定理证明不用弦切角）

发布时间：2020-12-06加入收藏来源：互联网点击：

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1、如图所示。

2、已知：由圆O外一点P引圆的一条切线交圆于C，引一条割线交圆于A、B求证：AP·BP=CP2证明连接OC，OP，OB；过O作AB垂线段，垂足为M；圆的半径为r则OC=OM=OB=r（同圆内所有半径都相等）∵CP为⊙O切线（已知）∴OC⊥OP（圆的切线垂直于交点处的半径）∴∠OCP=90°（垂直的定义）则由勾股定理得CP2=OP2-OC2=OP2-r2∵OM⊥AB（由作图得）∴∠OMB=90°（垂直的定义）则由勾股定理得MB2=OB2-OM2=r2-OM2MB=(r2-OM2)1/2由垂径定理得MA=MB=(r2-OM2)1/2∵∠AMB=180°（平角的定义），∠OMB=90°（已证）∴∠OMP=∠AMB-∠OMB=90°则由勾股定理得PM2=OP2-OM2PM=(OP2-OM2)1/2∴AP=PM-MA=(OP2-OM2)1/2-(r2-OM2)1/2BP=PM+MB=(OP2-OM2)1/2+(r2-OM2)1/2则AP·BP=[(OP2-OM2)1/2-(r2-OM2)1/2][(OP2-OM2)1/2+(r2-OM2)1/2]=[(OP2-OM2)1/2]2-[(r2-OM2)1/2]2=(OP2-OM2)-(r2-OM2)=OP2-OM2-r2+OM2=OP2-r2∵CP2=OP2-r2（已证）∴AP·BP=CP2证明完毕。

3、由此得到：从圆外一点P引一条切线交圆于C，引一条割线交圆于B、C，则AP·BP=CP2如图所示已知：由圆O外一点P引圆的一条切线交圆于C，引一条割线交圆于A、B求证：AP·BP=CP2证明连接OC，OP，OB；过O作AB垂线段，垂足为M；圆的半径为r则OC=OM=OB=r（同圆内所有半径都相等）∵CP为⊙O切线（已知）∴OC⊥OP（圆的切线垂直于交点处的半径）∴∠OCP=90°（垂直的定义）则由勾股定理得CP2=OP2-OC2=OP2-r2∵OM⊥AB（由作图得）∴∠OMB=90°（垂直的定义）则由勾股定理得MB2=OB2-OM2=r2-OM2MB=(r2-OM2)1/2由垂径定理得MA=MB=(r2-OM2)1/2∵∠AMB=180°（平角的定义），∠OMB=90°（已证）∴∠OMP=∠AMB-∠OMB=90°则由勾股定理得PM2=OP2-OM2PM=(OP2-OM2)1/2∴AP=PM-MA=(OP2-OM2)1/2-(r2-OM2)1/2BP=PM+MB=(OP2-OM2)1/2+(r2-OM2)1/2则AP·BP=[(OP2-OM2)1/2-(r2-OM2)1/2][(OP2-OM2)1/2+(r2-OM2)1/2]=[(OP2-OM2)1/2]2-[(r2-OM2)1/2]2=(OP2-OM2)-(r2-OM2)=OP2-OM2-r2+OM2=OP2-r2∵CP2=OP2-r2（已证）∴AP·BP=CP2证明完毕。

4、由此得到：从圆外一点P引一条切线交圆于C，引一条割线交圆于B、C，则AP·BP=CP2用相似三角形证明。

5、设过P的直线与圆交于AB，切于C，△APC∽△CPB。

6、设P是圆O外一点，射线PM交圆O于A，B两点，A介于P，B之间。

7、M是AB的中点。

8、射线PC切圆O于点C。

9、求证PA*PB=PC²。

10、证明：因为射线PM交圆O于A，B两点，所以OA=OB=半径。

11、因为M是AB的中点，所以AM=MB，OM⊥PM。

12、所以OA²-OM²=AM²，PO²=PM²+OM²。

13、因为A介于P，B之间，所以PA=PM-AM，PB=PM+MB。

14、因为射线PC切圆O于点C，所以OC=半径=OA，OC⊥PC。

15、所以PC²=PO²-OC²=PM²+OM²-OA²=PM²-AM²=(PM-AM)(PM+AM)=PA(PM+MB)=PA*PB。

16、证明完毕。

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