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如何证明四点共圆(如何证明四点共圆的判定)
方程,考题,向量如何证明四点共圆(如何证明四点共圆的判定)
发布时间:2020-12-06加入收藏来源:互联网点击:
很多朋友想了解关于如何证明四点共圆的一些资料信息,下面是小编整理的与如何证明四点共圆相关的内容分享给大家,一起来看看吧。
最近非常想写个关于“四点共圆”的推文。
原因嘛,当然是因为近期一直在复习圆锥曲线,觉得手熟了。
不过最主要的,还是因为最近已有多位同学询问了四点共圆的证明。
好像最近的好几张卷里,也都有四点共圆吧。
翻了翻高考卷,不论是以前的全国卷,还是地方卷,确实出现过多次关于“四点共圆”的证明了。
当然,文科都是压轴的。
于是,我极认真的准备了一点素材,写就此文。
仅希望能给高分段的孩子们,更多一点解析几何题型上的储备吧。
为表示严肃,还是直接上高考真题吧。
四点共圆-考题再现
这题的第一问,是极其简单的。
因为根据条件,利用向量加法结合韦达定理,就可以直接求出点P的坐标了。
代入就行了呗。
我就不再代入了,直接进行“四点共圆”的证明。
其实,说到四点共圆的证明,记得初中的主要方法,应当是“对角互补的四边形有外接圆”这一结论了。
所以,首当其冲的,要考虑“对角互补”。
只是如何求角呢?
在平面几何里,我们可以用解三角形的办法。
那么,在解析几何里呢?
想了想,也只有“到角公式”和“向量夹角”稍微的靠谱点。
这里,我用了“到角公式”。
只是,要问我什么叫“到角公式”?
我就不再答复你了。
因为画个图仔细想想,很容易就能弄明白的。
当然,有同学说,都把四点坐标求出来了,用向量不也是挺好的嘛。
毕竟,向量求角,我们可能更熟悉点。
但因为要计算模长,可能计算量就稍微显得大了点了。
而且,如果是真的要计算模长的话,我想就无需求角了。
因为圆当中,还有一个非常重要的结论,叫“相交弦定理”!
我们可以用这个定理,成功过渡到“四点共圆”的验证。
计算量确实是大了点的。
但幸好,因为只是计算两点间的距离,于我们来说,一定是比较熟悉的,只要耐心观察式子特点,注意优化计算过程就好。
计算的过程中,我想了想“三点可以惟一确定一个圆”这个结论。
因为有点圆和两点圆的方程,这里突然想到三点圆,应该也是无可厚非的。
当然,主要还是因为前两种思路的计算量,确实是我所不喜的,所以就想再做点思考。
如果可以很方便地表达出三个点确定的圆,再验证第四个点是否在圆上,我想也是很直接的。
只是,又怎样能很方便地表示一个三点圆呢?
我想到了课堂上讲到的“过直线与圆交点的圆系方程”。
于是,方法上做了这样的调整。
是不是也很简单的。
利用一个两点圆的直径式,再加上圆系就OK了。
虽然写起来挺麻烦,但真的没有太多的计算量。
当然,有同学说,按照尺规作图的思路,三点圆的处理,我也可以分别求出某两边的中垂线,再求得交点行不行?
当然,你可以试一下的,也一定是可以。
只是受前面计算量的影响,我实在不想再求中垂线了。
其实,受“过直线与圆交点圆系方程”启发,是可以很容易想到经过四点的曲线系方程的。
那么,这个东西与四点共圆又有什么关系么?
仔细想想圆的方程的特征,不难得出下面这个结论:
其实也就是说,只要上面圆系方程中没有x与y的交叉项,就一定是表示经过两直线与曲线四个交点的圆的方程了。
相信,在对圆系的方程的写法有了一定的感觉后,应该是能够理解上面的结论的。
于是,便有了下面这个极简洁的证法。
不能说这种解法是多么的神奇。
只能说,在学习过程中,对于某些相近的问题,如果有时间和精力的话,还是应该要做深度的思考的分析。
因为,勤于思考,才是数学人最好最重要的品质。
在这里,从应考的角度来说,我只想提醒大家,如果遇到四点共圆,就多想想那个“斜率之和等于0”的充分条件吧。
比较下几种思路,你认为哪一种更适合你呢?
当然,这个考题还是很特殊的,毕竟四个点的坐标都可求。
但在很多的考题中,坐标可求的情况应该是极少的吧。
所以,具体问题中,还是要根据条件的特征,做个最好的选择。
不信,你也可以试着处理下面的考题:
是不是有特别想妙解了它的冲动呢!
还有近期某卷的考题,虽很容易,也不压轴,但听说也还是难倒了不少的娃的。
非常简单的一个题了,有时间,下期再给个解答吧。
不过碰巧刷到这篇推送的同学,真的可以好好试下前面提到的方法。
多试几种吧,练习一下小技能。
本文到此结束,希望对大家有所帮助呢。
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