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切割线定理证明 圆的切割线定理证明

定理,本题,切线切割线定理证明 圆的切割线定理证明

发布时间：2016-12-08加入收藏来源：互联网点击：

很多朋友想了解关于切割线定理证明的一些资料信息，下面是小编整理的与切割线定理证明相关的内容分享给大家，一起来看看吧。

众所周知，切割线定理为：如图所示，若AB为圆的切线，ACD为圆的割线，则有

AB^2=AC*AD，利用弦切角等于圆周角得∠ABC=∠ADB即得△ABC∽△ADB，则

AB/AD=AC/AB,即可证明。反之亦然，即若AB^2=AC*AD则AB为BCD外接圆圆的切线。显然，其中的圆可以略去，只要有∠ABC=∠ADB即可。

而且反之亦然，即如图，若ACD共线，则

AB^2=AC*AD = ∠ABC=∠ADB ①

这个图形非常基础，也很常见，当然它是圆幂定理的一种。但是本专题重点展示此定理的应用，不把它往圆幂定理上推广。有人称之为广射影定理（因为当AB⊥BD时即为射影定理，故其为射影定理的推广）。叶中豪老师常称之为“母子型相似”图形，但是我觉得还是应该称之为切割线定理更合适一些。当然其本质是两个共边的逆相似三角形的质。

本图形和结论虽然简单，但是运用之妙，存乎一心，合理的运用①往往巧妙的解决很多难题，下面我们通过例子展示其应用。

例1、如图， 设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O，P是以O为圆心OM为半径的圆上一点（位置如图所示），求证：∠OPF=∠OEP．（1996年初中数学联赛）

思路分析：

∠OPF=∠OEP = △OPF∽△OEP= OM^2=OE*OF(消去圆和点P)得到下图。

OM^2=OE*OF = OF/OM=OM/OE,需要一个中间量传递一下比例，从而想到延长AD、BC交于点I，由平行即得OF/OM=ID/IA=OM/OE,得证。

证明：如下图，延长AD、BC交于点I。由EF//AD可得

由①即得∠OPF=∠OEP．

注：本题很经典，本质调和。但是我的印象很深刻。因为这是我当年第一次参加全国初中数学联赛的试题。虽然当时我在一个小县城的汉中市城固县城关中学，但是我们数学老师一直鼓励我们参加数学竞赛。他虽然教学很出色，但是对竞赛的了解也很有限。当时我是通过邮局邮购了几本数学竞赛辅导书，扎实认真的把书上问题琢磨透彻来自学数学竞赛的。幸运的是，当时我考得还不错，这个题目我也轻松解决。当时获得了陕西省第三名，被西安交大附中录取到了西安上高中，其实当时中专比较吃香，学习好的学生几乎都上了中专。只有我义无反顾的选择到西安上高中，我的人生彻底发生了变化。

例2、已知如图，PQ为两圆外公切线，两圆交于AB，BP交AQ于D，BQ交AP于C，

求证：AC*CB=AD*DB（2017年高中数学联赛陕西省预赛）

思路分析：两圆相交，公共弦是一个重要 的枢纽，沟通了两圆的关系。由切线及切割线定理容易得到AB平分PQ。从而想到在消点法中多次用到的Steiner定理[1][2]，得到CD//PQ。

且AB平分CD。又易得ACBD共圆，由△ABC、△ABD面积相等即得结果。

证明：如下图，设AB交PQ、CD于G、H，由①得GP^2=GB*GA=GQ^2，则

GP=GQ ,

由塞瓦定理得

则AC/CP=AS/SQ,故CD//PQ,且HC=HD,

又由切线得 ∠GAP=∠GPB=∠CDB,

故ACBD共圆；

又由

即AC*CB*sin∠ACB =AD*DB*sin∠ADB ,

即得AC*CB =AD*DB。

注：本题结构和质都很常见，思路都比较自然。虽然证明结果看起来有点“恐怖”。但是只要认真分析，证明并不困难。当然熟悉调和四边形的读者容易发现ACBD为调和四边形。本题证明方法也比较多，有兴趣的读者可以自行探讨。

思路分析：若从结果分析，证明垂直方法很多，可以倒角或者勾股定理等，但是都不好说。所以先探索图形的基本质。

点R最高级，由IB=IQ及ABQP共圆得

∠IPB=∠IQB=∠IBQ,故△IBP∽△IRB，从而转化为切割线定理基本构型，

由①得IB^2=IP*IR且∠IRB=∠IBP,右边类似得到∠IRC=∠ICP,

这样就消去点R、Q及两个小圆，得到下图，

需证∠IBP+∠ICP=90°，

这应该就显然了，只需计算一下角度即可。

证明：依题意可得，∠IPB=∠IQB=∠IBQ,

故△IBP∽△IRB，

由①得

则△ICP∽△IRC，

则∠BRC=∠IRB+∠IRC=∠IBP+∠ICP=360°-∠BPC-∠BIC

=360°-0.5(360°-∠BAC)- (90°+0.5∠BAC)= 90°,

注：1）解决本题的关键在于发现其中的切割线定理结构，消去点R，将证明结果转化到大圆上。这也完美的体现的数学竞赛的精髓——不是考察你的知识，而是考察你的能力。光知道一些结论是没用的，关键要在合适的时候巧妙的使用那些简单的知识来解决复杂的问题！

本文到此结束，希望对大家有所帮助呢。