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(科普下面面垂直可以推出线线垂直吗及线面垂直几何法判定定理

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发布时间：2020-12-06加入收藏来源：互联网点击：

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线面垂直几何法判定定理

已知l⊥m，l⊥n，m，n⊂α，m∩n=E。求证：EF⊥α

因为平移不改变角度，所以可以通过平移把所有的直线移动到相交于一点的位置来证明。

证明：∵l⊥m，l⊥n

∴在α内所有与m或n平行的直线都与l垂直。

接下来证明那些与m，n不平行的直线也与l垂直。

取m上A，B两点，取n上C，D两点，使AE=BE，CE=DE

连接AD，BC，过E作任意一条直线，该直线与AD，BC交点为G，H(稍后将讨论GH与AD，BC平行的情况)

取l上异于E的点F，连接FA，FG，FD，FB，FH，FC

∵AE=BE，CE=DE，∠AED=∠BEC

∴△AED≌△BEC(SAS)

∴∠DAE=∠CBE，AD=BC

∵∠AEG=∠BEH

∴△AEG≌△BEH(ASA)

∴AG=BH，GE=HE

∵EF⊥AB，AE=BE

∴FA=FB

同理，FC=FD

∴△FAD≌△FBC(SSS)

∴∠FAG=∠FBH

∴△FAG≌△FBH(SAS)

∴FG=FH

又∵GE=HE

∴FE⊥GH

由GH的任意性可知，EF垂直平面内任意与AD，BC都不平行的直线

当GH∥AD∥BC时，可以连接AC，BD，那么GH必与AC，BD相交

之后证明方法同上，只需要改字母即可。

根据线面垂直的定义，l⊥α

本文到此结束，希望对大家有所帮助呢。