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发布时间：2019-02-08加入收藏来源：互联网点击：

扭量空间

彭罗斯经常写道，想象一位观看夜空的观者，恒星的宇宙就像一个球体（被称为“天球”或者“天图”），观者在其中心。另一位站在离第一位观者一段距离的观者，也看到了一个天球。通常情况下，这两个球体可以简单地通过旋转一个球体使之与另一个球体重合在一起。然而，如果第二个观者以接近光速行进，这种方法将无法奏效；球体中存在光的畸变，简单的旋转不会产生重合。例如，如果第二个观者直接从静止的第一个观者身边经过，但正以很大的速度向北极星移动，那么天球上的恒星就会被挤压到北极区；如果第二个观者经过第一个观者的一侧，天球上的恒星将被旋转到一边，然后挤压到北方。当然，运用洛伦兹变换会从另一组重新计算一组恒星位置，但是彭罗斯注意到一组更简单的变换，即莫比乌斯变换（与莫比乌斯带没有关系）也会获得成功。

要使莫比乌斯变换起作用，天球上的位置必须用复数重新编号：形为a +b i 的数字，其中 i 是虚数

。复数通常表示在平面上，其中第一个数

（实部）是在水平轴上的位置，第二个数（虚部）是在垂直轴上的位置，完全复数是用这两个轴作为地图坐标定义的平面上的位置。这整个二维平面，代表了一组相关的复点（complexpoints），可以被认为是一条复直线（complex line）。射影直线的行为就好像它们是封闭的，因此经常被建模成圆：左无穷大和右无穷大是一样的。“所选择的（射影几何的）公理非常普遍，允许坐标属于任何场：不是我们可以使用有理数的实数，而是复数。”（Coxeter 1961，231 页）因此，射影直线需要不仅是一条实点直线，还可以是一条由复数组成的直线。若它既是复数又是射影，则直线就只有一个无穷远点。这条复线，被建模成只有一个无穷远点的平面，卷成一个球，称为黎曼球面。

对于莫比乌斯变换，天球被映射到这个数学球面上。若使用极坐标（从球面中心的角度导出）代替经度和纬度坐标，则计算进一步简化。这种对复数和极坐标的改变，结果是一个意想不到的好处。不仅洛伦兹变换的计算更容易进行，彭罗斯说的广义相对论中的计算也更容易进行。此外，射影空间中的复数是量子物理工作的首选数学系统；至少这两个不同的物理学分支现在可以使用同一种数学语言。

彭罗斯指出，“在基本的扭量对应中，（闵可夫斯基）时空中的光线在（射影）扭量空间中用点来代表，而时空点则表示为黎曼球面”（Hawking and Penrose 1996，111 页）。当用齐次坐标表示时，空间中的直线就变成了点。当做出射影和复时，点变成复射影直线，即黎曼球面。彭罗斯将光线射影模型的相关与复数的便利结合起来，构造了复射影三维空间，即扭量空间（twistor space）的定义（图4）。扭量不是无质量粒子，不像矢量是无质量粒子，但扭量是对无质量粒子可能的描述，因此是对空间的描述（图 5）。在许多著作和讲座中，他对这些元素之间的有机联系感到惊讶：天球的狭义相对论洛伦兹变换也是莫比乌斯变换；莫比乌斯变换假定黎曼球面及其内含的复射影几何；光线最好模拟成射影直线。

图4 射影直线，画成圆圈，把（过去的）天球和（未来的）天球连接起来

图5 彭罗斯画的扭量，一个嵌套的一系列墨水圆圈，填充了所有的三维空间

我找到了我的空间！

射影几何学和复数的结合还有进一步的协同作用，这是一个凝聚在一起的整体，远远大于其各部分看似无害的总和。描述无质量粒子自旋的此种自然方式，就是这些令人欣喜的结果之一。

观者总是位于天球光线的中心，因为光线在当前时刻聚集在一个特定的位置上，组成观者的天图（sky map）。这些光线，若延续到未来，则构成未来一半的光锥，即观者的反天图（anti-sky map）。对于光线本身，这两幅天图被“视为等同”，意思是它们被合（即“胶合”）在一起因为光线的长度为零。彭罗斯谨慎地说，过去光锥和未来光锥的这个紧化（一个数学术语，指“系统的完成”）只是一个数学上的“方便”，但是一个有信息的“方便”。光线穿过夹点时，它们的位置在光锥的上半部分被反转。紧化，就相当于在光线中加一个扭曲（图 6）。

图6 当过去天图与未来天图胶合时，紧化就会发生。当连接对应诸点的诸线长度为零时，此种胶合是不可避免的。

另一种将光锥紧化的方法，是在闵可夫斯基空间（Minkowski space）中添加一个无穷远光锥（图 7）。添加一个无穷远元素，是射影几何封闭一个空间的既定技巧。这种紧化的结果，构造了复射影三维空间。彭罗斯意识到，由闭环组成的紧化光锥是三维球面（球面的四维类似物）的霍普夫纤颤（一组链接的圆）。这是一个久已为人所知的数学事实，即在三维球上的某些平行路径随着它们的推进而扭曲。彭罗斯认为，这一几何事实必须解释无质量粒子自旋的起源，尽管所有的细节还没有搞清楚。为了界定光线扭转的方向，光线的描绘必须有一个附加的结构，而这是通过添加旗子来实现的：把光线看作旗杆，把旗子看作附在旗杆上的刚信号旗（图8 ）。（旋量，即随它们推进而旋转的矢量，就是这样被描述的，而扭量则以旋量数学为基础。）现在可以跟踪零射线（零长度的光线）的扭曲，并将其看作紧化的必然结果，紧化本身就是在其自身参考系中具有零长度，从而成为一个射影实体的光线的必然结果。

图7 放置一个无穷远光锥，会使零射线变成圆。放置一个无穷远光锥，也会使空间紧化。

图8 零射线的切线和垂线从过去传递到未来时，皆围绕射线旋转。就像被称为旋量的数学对象，这种扭曲是通过在射线上附加旗子，从而使其方向清晰而被注意到。

射影几何学与复数融合的另一个令人欣喜的结果，是时间之矢的更加清晰的画面。虽然没有什么比过去发生的事情和尚未发生的事情之间的区别更明显，但这种区别无论是从几何角度还是从物理学角度看并不明显。举一个物理学的例子，想象一下早晨的太阳使一片雾气变暖。当阳光击中雾中的水分子时，水分子会被加热，开始以渐增的能量四处运动。随着分子四处运动并撞击其他分子时，云团扩展，密度降低，直到云最终蒸发。但是，把注意力集中在水的分子反弹上，晨雾的大画面就消失了。如果只拍摄了几个分子的特写电影，人们就无法分辨电影放映是向前还是向后，因为物理学定律不会区分跑向未来的事件还是跑向过去的事件。在局部上，即使雾总体上正在消散，分子的碰撞也能将雾凝聚成孤立的斑点。在这个例子中，有一个清晰的全局时间之矢和一个混乱的局部时间之矢。

也存在相反的情形。人们可以通过考察光线的自旋，在局部检测光线，看看它们是向前移动，还是向后移动。右旋螺钉被标记为正且随时间向前移动，左旋螺钉被标记为负且随时间向后移动。现在，问题在于构建全局箭头（global arrow）。彭罗斯解释道，“量子场论需要把诸场量分解成正频和负频部分。前者顺时间传播，而后者逆时间传播。为了得到理论的传播子，人们需要一种把正频率（也就是正能量）部分挑出来的办法。扭量理论是完成这种分解的一个（不同的）框架——事实上，这种分解正是扭量的一个重要的原始动机” （Hawking and Penrose 1996，107 页）。

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