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发布时间：2019-02-08加入收藏来源：互联网点击：

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在艺术家试图用图像的方式在平面上创造空间和三维形式的错觉时，射影几何学（Projective geometry）就诞生了。数学上，射影几何是研究关于射影变换不变下的几何质的专门学问。而它在物理上还展现了特别的意义，从狭义相对论用四维时空所描述开始，到晶体结构以及通向量子引力的路径上等等，这项在19世纪蓬勃发展的学问至今仍焕发着生机。

《时空投影：第四维在科学和现代艺术中的表达》作者托尼·罗宾是当代著名艺术家，四维几何计算机可视化的先驱。他在探索艺术上起源于毕加索的立体主义（Cubism）的不同四维模型表达时，也探究了它们在现代数学思想和物理学的应用，将艺术与艺术史、数学与科学融合在一起。本文即讨论彭罗斯提出的扭量理论中包含的射影几何思想，彭罗斯将其与复数联系在一起构建出时空本身，并由此发展出一系列的强大的数学工具。来自艺术家的视角将帮助我们理解这门深奥的理论。

“这是一部修正主义数学史，也是一部修正主义艺术史。”本文选自《时空投影：第四维在科学和现代艺术中的表达》第7章，有删减，小标题为编者所加。前往“返朴”公众号，点击文末“阅读原文”可购买此书。点击“在看”并发表您的感想至留言区，截至2021年11月7日中午12点，我们会选出2条留言，每人赠书1本。

撰文 | 托尼·罗宾

翻译 | 潘可慧 潘涛

校译 | 潘涛

空间真的是由无量纲点（dimensionless points）组成的吗？高中数学和常识说它是，但有另一种数学和常识说之前就错了。为了说明常识的谬误，爱因斯坦举了一个椅子被推到舞台上的例子。常识认为，推力移动椅子，因为当推力停止时，椅子就停止。原因和结果再清楚不过了。但是，你可以猛推一把椅子，这样它就会在没有人推的时候继续移动。这个小小的反例，给常识带来了难题。对此反例的长期考虑最终导致了对摩擦力的研究（牛顿第一定律指出，运动中的物体继续运动直到停止），这导致了对行星围绕太阳的运动的理解。物理学家罗杰· 彭罗斯也以类似的方式关注了直线有时是点这一表观佯谬。围绕这一佯谬的研究，他得出了一个全新的空间概念，并有希望将物理学各个独立的、看似不可调和的分支统一起来。

光 锥

在开始考察彭罗斯佯谬（Penrose’s paradox）前，请先考虑光锥（light cone），它是所有聚集在时间和空间点上的光的一部分。此外，在当前时刻，光的闪光从一个特定的位置扩展，而作为向外传播的光线的前缘的球面形成了光锥的上半部。因为很难想象四维图形，所以惯例是把光锥画成双尖纸帽，其中的圆圈代表光的球面，两条边代表光的时间流逝的历史。对于许多讨论点，在较低维度情况下的推理与在较高维度的情况下的推理是相同的，且绘图更容易。

“夹点”表示空间中某一特定位置的当前时刻。沿着光锥的垂直时间轴传播，就是在时间流逝时停留在原地；沿水平轴传播是随时随地，以无限的速度运动。这些轴可以校准，这样垂直轴上的一个滴答等于 1 秒，而水平轴上的一个滴答等于 300,000 米。通过这种校准，在 45 度对角线上运动就是以光速传播（图1）。

图1 光锥。对轴进行校准，使光速以 45 度线表示

因为面朝下的光锥是由所有在特定时刻特定位置聚集在一起的光线组成的，所以观察者在这个夹点所能知道的就是锥内的信息。在内部，慢于光速的光线就可以到达观察者；在外部，光线或信息的传播速度必须比光速更快才能到达观察者，这是不可能的。因此，面朝下的光锥代表因果过去。同理，面朝上的光锥从那时起就描述了在那个地方因果未来的所有可能。光锥表面则代表恰好以光速行进的光线或信息（图 2）。

图2 面朝下的光锥描绘了因果过去。因果过去以外的事件，不会影响那个夹点（即在那个位置的当前时刻）

图3 彭罗斯画的光锥。光锥表面上的直线代表以光速行进的路径。相对论表明，对于旅行说，这些路径的长度为零；它们是零射线，也可以用球面上的点来表示。

要使这一论证具体化，需考虑一个在恒星 4.3 光年之外的核爆炸中产生的光子，它被眼睛吸收并转化为化学能时，就结束了它的存在。其路径长度约为 4.06×10^13米。但是，如果某人以非常高的速度行驶，那么这条路可能只有原来的一半长；在 95% 的光速下，这条路只有原来距离的 30%。

考虑那个著名的双生子例子，如果一个人乘坐宇宙飞船，以接近光的速度旅行，而另一个人待在地球上，这对双胞胎的年龄就不一样了。或者，对于那些不那么喜欢假设的物理谜语的人来说，要考虑粒子加速器，当物质加速到接近光速时，放射物质样本的半衰期实际上会根据静止时钟（以及与其他物质相比）减慢。狭义相对论方程所描述的扭曲是有物理实在（physical reality）的，光锥图必须解释这一事实。

彭罗斯的替代光锥也提供了误导的信息，因为它没有显示所有作为点的光线的球面从现在开始缩小或向外生长，就像产生闪光时的情形。包括零在内的各种长度的光线佯谬是由描述它们的空间模型产生的，如果它们被认为是空间中的直线（line in space），模型中的问题就不可避免。彭罗斯的创造飞跃，乃是意识到还有另一个几何对象可以模拟光线：射影直线（projective line）可以容纳光线的所有长度。（为了保持术语清晰，我将射影几何中的线称为“射影直线”，而在其他几何学中称之为“空间中的直线”，这是强调射影直线与背景无关的区别。）

从表面上看，射影直线看起来像是空间中的直线，但它却截然不同，更加丰富。在射影几何中，存在着直线和点的基本对偶论；凡是谈论其中一个，就可以谈论另一个。射影点用比率（齐次坐标）表示，高维空间中所有满足这一比例的点都被认为是同一点。一旦这种想象飞跃发生，射影直线就越来越准确地描述了光线。射影直线具有一系列有序的点，但是——类似于光线——它们没有确定的长度。就这一点而言，射影直线上某一范围内的点可以通过多个射影变换合法地重新排列，那些投影将一条直线投影回自身，这对于空间中的直线上的点来说则不可想象。19 世纪射影几何的成就是逐渐将射影几何从笛卡儿 x， y 网格中移除，并跟踪因不同投影而变化的测量值时，在图形中保持不变的情况。因此，并不存在网格是射影直线（即光线）的专有定义。

没有潜在的空间网格的事件空间的前景，对物理学家来说是很有吸引力的。一段时间以来他们一直对物理学的戏剧应该在一个预先确定的空间（不管它如何弯曲或扭曲）舞台上发挥出来的想法感到不爽。根据广义相对论，空间是物质的创生。根据粒子物理学，物质在空间之外产生，是从时空的虚粒子（几乎不可能有任何物质的单位）中冒出来的。如今弦理论提出，物质最终由一维实体组成，与任何三维物质单位相比，一维实体对纯几何的亲和力要大得多。圈量子引力（loop quantum gravity）比其他形式的弦理论有价值，它的发明者之一李·斯莫林（Lee Smolin）说，这主要是因为“我们真的可以以一种背景独立的方式来看待空间和时间，把它们看作一个关系网”（Smolin 2001，179 页）。对于彭罗斯来说，这些关系网的单位由射影直线构建：“我们把时空认为是从属的概念，而把扭量空间——原先是光线空间——认为是更基本空间。”（Hawking and Penrose 1996，110 页）“通常的时空概念……是由扭量基本成分构造出来的。” （Penrose 2004，963页）

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