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(1加1为什么等于2)-一加一等于二是谁证明出来的
自然数,公理,乘法(1加1为什么等于2)-一加一等于二是谁证明出来的
发布时间:2020-12-06加入收藏来源:互联网点击:
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0 不是任何自然数的后继数。既然 S(0) 不等于 0,根据国际标准化组织定制的标准,我们把 S(0) 记作 1,1 是 0 的后继数。那我们继续思考,S(1) 等于多少?S(1) 可以等于 0 吗?公理三告诉我们 S(1) 不等于 0;那 S(1) 可以等于 1 吗?目前没有办法否定这种情况,但是情况下,自然数就可以是一个只包含 0 和 1 两个元素的集合,并且 S(0) = 1, S(1) = 1,如下图所示:
只满足前三条公理的反例
除此之外,1 是否可以是多个自然数的后继数?如下图所示:
只满足前三条公理的反例
这两种情况有一个共性,就是有多个自然数对应同一个后继数,这破坏了映射中单射的条件,因此我们只需要对映射 S 加上单射的条件即可,第四条公理如下陈述:
公理四:对于任意自然数 m, n,S(m) = S(n) 当且仅当 m = n
根据公理四来看,S(1) 绝不可能是 1,否则 S(0) = S(1) = 1,违背了公理四。根据国际标准化组织定制的标准,我们把 S(1) 记为 2,2 是 1 的后继数。那么同样,S(2) 不可能是 0 或 1 或 2,我们同样可以用 3 来表示 S(2),这个过程可以无限进行下去,这是因为每一次标记的后继数不可能是 0 或者是之前标记的任何一个数,否则会违背公理四,所以只可能是一个新的数。
由这四条公理所确定的自然数集仍然存在漏洞,比如下面这种情况:
只满足前四条公理的反例子
在这种情况中,0,1,2,… 依旧属于自然数,不过它多了另一条以 n0 为首的长链,而这两条链不存在公共元素。不难验证,这种结构符合公理一至公理四,但显然不是我们想定义的自然数集的结构。为了排除这种情况,我们只需要从 0 开始不断取后继数,最后可以遍历自然数集即可。公理五如下陈述:
公理五(归纳公理):若集合 K 是自然数集 N 的一个子集,满足:
1. 0 属于 K
2. 对于任意 n 属于 K,有 S(n) 属于 K
那么集合 K 等于自然数集 N.
归纳公理常常有另一种表述:
公理五(归纳公理):若 f 是一个单参判断式,满足:
1. f(0) 为真
2. 对于任意自然数 n,若 f(n) 为真那么 f(S(n)) 为真
那么对于任意自然数 n,f(n) 为真.
归纳公理确保了数学归纳法的正确性。这五条公理很严谨地定义了自然数的算数属性。
自然数的加法和乘法运算
加法和乘法都是二元运算,换言之,是将两个自然数映射到另一个自然数的函数。
其中,加法的递归定义为:
对于任意 a, b 属于 N,
0 a = a,
S(a) b = S(a b)
类似的,乘法的递归定义为:
对于任意 a, b 属于 N,
a x 0 = 0,
a x S(b) = ab a
1 1 = 2 的证明
加法和乘法的性质
下面列举一些常见的自然数加法和乘法的性质,并附上证明。
引理:对于任意自然数 n,S(n) = n 1
引理:对于任意自然数 n,n 0 = n
加法结合律:对于任意自然数 a, b, c,
( a b ) c = a ( b c )
加法交换律:对于任意自然数 m, n,
m n = n m
引理:对于任意自然数 n,0 x n = 0
引理:对于任意自然数 m, n,S(m) n = mn n
乘法分配律:对于任意自然数 a, b, c,
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