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(1加1为什么等于2)-一加一等于二是谁证明出来的

自然数,公理,乘法(1加1为什么等于2)-一加一等于二是谁证明出来的

发布时间：2020-12-06加入收藏来源：互联网点击：

本文将由皮亚诺公理出发，详细介绍有关自然数的算数属性以及基本性质，并证明推论 1 1 = 2。本文不涉及任何高深的数学知识，适合任何学历读者。

1 1 = 2

引言

在上一篇文章中，我们详细介绍了一些基本数学术语的概念以及区别。对于大多数学生来说，自然数集是学习数学时最早接触的范畴，它也是最基础的数学知识之一。构建自然数以及定义其算数属性的是皮亚诺公理，这意味着诸如 1 1 = 2 这类算式是可以被证明的。接下来将介绍几个重要的数学概念，并引出皮亚诺公理。

自然数

等价关系

在一个集合 S 中，一个二元关系 ～ 被称为等价关系，当且仅当其具有自反性，对称性以及传递性。换而言之，～ 是等价关系当且仅当对于任意 a, b, c 属于 S：

a ~ a (自反性)

a ~ b 当且仅当 b ~ a (对称性)

若 a ~ b 且 b ~ c，则 a ~ c (传递性)

等价

相等

在数学上，如果两个量具有相同的值，或者更一般来说，两个数学表达式表示相同的数学对象，那么这两个量或数学表达式之间的关系被称为相等。A 和 B 相等可以表示成 A = B，其中符号 “=” 被叫做等号。

根据《几何原本》中的第一条公理：

公理 1：等同于相同事物的事物会互相等同。

不难验证，相等是一种等价关系。相等的概念在皮亚诺公理中有很重要的作用。

自然数

自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。根据国际标准化组织制定的标准 ISO 80000-2，自然数集即非负整数集（正整数和 0 的集合），用 N 表示：

N = { 0, 1, 2, 3, … }

国际标准化组织定义的自然数集

皮亚诺公理（Peano axioms）

皮亚诺公理定义自然数的算数属性。这一套公理涉及一个常数符号 0 以及一个一元函数 S。需要注意的是，自然数集中的元素以及元素符号并不是由皮亚诺公理定义的，而是由国际标准化组织定义的。若改写自然数集中的某些常数符号（比如将所有的 1 替换成别的符号）会违背国际标准化组织定制的标准，但不会对皮亚诺公理定义的算数属性造成影响。但是，仅仅只有一堆符号的集合是没有办法刻画元素之间的性质的，这就是皮亚诺公理的重要性所在。

首先考虑，自然数集可不可以是空集？显然这是不合理的。因此便有了第一条公理：

公理一：0 是自然数

公理一说明自然数集非空，并且有元素 0 。但是只有一个元素 0 是无法构成自然数集的，我们还需要说明每一个自然数后面必然有另一个自然数。我们借助一个一元函数 S 来描述第二条公理：

公理二：对任意自然数 n，S(n) 是自然数

我们把一元函数 S 称为后继函数，自然数 S(n) 叫做自然数 n 的后继数。函数 S 其实描绘的是自然数集中每个自然数和它的后继数之间的对应关系。公理二说明自然数对于 S 是封闭的，并且根据映射的规则，每一个自然数 n 对应唯一一个后继数 S(n)。那么从 0 开始，S(0) 是 0 的后继数，而 S(0) 作为自然数也有它的后继数 S(S(0))，这样一直重复下去。因此，我们用一个直观的图来刻画自然数结构如下：

理想中的自然数的结构

其中我们定义箭头由自然数 n 指向它的后继数 S(n)。

那么问题出现了，要是 0 的后继数 S(0) = 0 怎么办？这种情况下自然数集就只由 0 组成，并且箭头永远是 0 指向 0，如下图所示

只满足公理一、二的反例

除此之外，0 是否可以是某一个自然数的后继数？这种情况下自然数就不是从 0 开始，如下图所示

只满足公理一、二的反例

对于这两种情况，我们可以归结为，是否存在一个自然数 n，使得它的后继数 S(n) 等于 0 ？这显然是不合理的。因此第三条公理如下陈述：

公理三：不存在自然数 n，使得 S(n) = 0

公理三说明，

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