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(1加1为什么等于2)-一加一等于二是谁证明出来的
自然数,公理,乘法(1加1为什么等于2)-一加一等于二是谁证明出来的
发布时间:2020-12-06加入收藏来源:互联网点击:
本文将由皮亚诺公理出发,详细介绍有关自然数的算数属性以及基本性质,并证明推论 1 1 = 2。本文不涉及任何高深的数学知识,适合任何学历读者。
1 1 = 2
引言
在上一篇文章中,我们详细介绍了一些基本数学术语的概念以及区别。对于大多数学生来说,自然数集是学习数学时最早接触的范畴,它也是最基础的数学知识之一。构建自然数以及定义其算数属性的是皮亚诺公理,这意味着诸如 1 1 = 2 这类算式是可以被证明的。接下来将介绍几个重要的数学概念,并引出皮亚诺公理。
自然数
等价关系
在一个集合 S 中,一个二元关系 ~ 被称为等价关系,当且仅当其具有自反性,对称性以及传递性。换而言之,~ 是等价关系当且仅当对于任意 a, b, c 属于 S:
a ~ a (自反性)
a ~ b 当且仅当 b ~ a (对称性)
若 a ~ b 且 b ~ c,则 a ~ c (传递性)
等价
相等
在数学上,如果两个量具有相同的值,或者更一般来说,两个数学表达式表示相同的数学对象,那么这两个量或数学表达式之间的关系被称为相等。A 和 B 相等可以表示成 A = B,其中符号 “=” 被叫做等号。
根据《几何原本》中的第一条公理:
公理 1:等同于相同事物的事物会互相等同。
不难验证,相等是一种等价关系。相等的概念在皮亚诺公理中有很重要的作用。
自然数
自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。根据国际标准化组织制定的标准 ISO 80000-2,自然数集即非负整数集(正整数和 0 的集合),用 N 表示:
N = { 0, 1, 2, 3, … }
国际标准化组织定义的自然数集
皮亚诺公理(Peano axioms)
皮亚诺公理定义自然数的算数属性。这一套公理涉及一个常数符号 0 以及一个一元函数 S。需要注意的是,自然数集中的元素以及元素符号并不是由皮亚诺公理定义的,而是由国际标准化组织定义的。若改写自然数集中的某些常数符号(比如将所有的 1 替换成别的符号)会违背国际标准化组织定制的标准,但不会对皮亚诺公理定义的算数属性造成影响。但是,仅仅只有一堆符号的集合是没有办法刻画元素之间的性质的,这就是皮亚诺公理的重要性所在。
首先考虑,自然数集可不可以是空集?显然这是不合理的。因此便有了第一条公理:
公理一:0 是自然数
公理一说明自然数集非空,并且有元素 0 。但是只有一个元素 0 是无法构成自然数集的,我们还需要说明每一个自然数后面必然有另一个自然数。我们借助一个一元函数 S 来描述第二条公理:
公理二:对任意自然数 n,S(n) 是自然数
我们把一元函数 S 称为后继函数,自然数 S(n) 叫做自然数 n 的后继数。函数 S 其实描绘的是自然数集中每个自然数和它的后继数之间的对应关系。公理二说明自然数对于 S 是封闭的,并且根据映射的规则,每一个自然数 n 对应唯一一个后继数 S(n)。那么从 0 开始,S(0) 是 0 的后继数,而 S(0) 作为自然数也有它的后继数 S(S(0)),这样一直重复下去。因此,我们用一个直观的图来刻画自然数结构如下:
理想中的自然数的结构
其中我们定义箭头由自然数 n 指向它的后继数 S(n)。
那么问题出现了,要是 0 的后继数 S(0) = 0 怎么办?这种情况下自然数集就只由 0 组成,并且箭头永远是 0 指向 0,如下图所示
只满足公理一、二的反例
除此之外,0 是否可以是某一个自然数的后继数?这种情况下自然数就不是从 0 开始,如下图所示
只满足公理一、二的反例
对于这两种情况,我们可以归结为,是否存在一个自然数 n,使得它的后继数 S(n) 等于 0 ?这显然是不合理的。因此第三条公理如下陈述:
公理三:不存在自然数 n,使得 S(n) = 0
公理三说明,
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