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实数,素数,复数(古罗马数字)-新罗马字体大全

发布时间：2019-02-08加入收藏来源：互联网点击：

复数的发现仅仅是人类认识更高的维度的开始。人们发现，1元数a对应实数，在几何中它可以描述为一条直线。如果把实数做加减运算，相当于直线左右移动；如果把实数做乘除运算，相当于将直线做伸缩或翻转（乘以负数为翻转）。2元数（a+bi）对应复数，在几何中它可以描述为平面中的一个点的坐标，将其加上另一个复数a+bi，相当于将该点横向移动a，再往纵向移动b。而将其乘以一个复数，则是除了将平面移动之外，还将平面进行了旋转。乘以i相当于将平面逆时针旋转90度，乘以i再乘以i，相当于将平面转了半圈。除法是乘法的相反，除以一个复数，是将放大换成缩小，或是反过来将缩小换成放大，然后再反方向旋转。大部份对实数能做的操作，对复数也都能做，而且使用复数对于解某些方程来说更加方便。

数学家们很快认识到，如果二维的数系能提供我们更大的计算威力，那么为何不考虑扩展到更高维的数系呢？但是这项看起来简单的工作却异常艰难，19世纪的爱尔兰著名数学家哈密顿在研究扩展复数到三元数a+bi+cj时遇到了难以逾越的困难。因为三元数的乘法不能满足“模法则”，而且无法明确的订出ij与ji的关系和值。三数平方和定理使三元数出现了定义上的问题，而之后ij的值，更为三元数带来一堆不可解决的问题。或许，三元数在一开始的想法就是错误的，也有可能它需要另一种超越实数与虚数之外的数来代表ij。总之三元数就像一个残次品，没有任何有意义的性质。但扩展到四维之后的四元数a+bi+cj+dk却柳暗花明，根据哈密顿记述，他跟妻子在都柏林的皇家运河上散步时突然想到i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1的方程解，哈密顿立刻将此方程刻在附近的布鲁穆桥上，一度成为数学界的趣谈。如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话，四元数就代表着一个四维空间。四元数满足乘法的结合率但是不满足交换率，即ab不等于ba，四元数的“加减乘除”运算可以表示三维空间中物体的运动，其中bi、cj、dk用来描述三个维度上的旋转和缩放，a则用来描述整个三维空间伸缩的程度，也就是说要描述三维空间的物体运动必须上升到四维空间。

数系向高维扩展的脚步并没有停止，1845年阿瑟·凯莱发表了关于八元数的发现，八元数（a+bi+cj+dk+el+fm+gn+ho）是四元数的一个非结合推广，它不满足乘法的结合率，即a(bc)不等于(ab)c。再往后呢，人们发现这一系列的新的数系满足一个简单的规律，即每一个代数系统的维度都是其前一个的2倍，这样的代数系统构成了一个序列，称为凯莱-迪克森构造，所有通过该过程产生的代数系统，即所谓的凯莱-迪克森代数系。实数、复数、四元数、八元数都是凯莱-迪克森构造的代数系统序列中的一个。这四类数都满足两个同样的规律：一是两个数的范数的乘积等于两个数乘积的范数；二是这四类数都可以做“加减乘除”四种运算，我们叫这类数为“赋范可除代数”。尽管定义允许“赋范可除代数”是无限维的，但事实上并没有，仅有的实数域上的赋范可除代数只有：实数、复数、四元数、八元数。即n个平方和与n个平方和的积可以写成n个平方和，仅当n为1,2,4或者8时成立。写成数学表达式就是: (a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)= c1^2+c2^2…+cn^2 （当且仅当n=1、2、4、8时） 一个有趣的现象是，在凯莱-迪克森构造的代数系统序列中的每一个代数系统比起其前一个系统，除了拥有更高的维度数之外，都将失去前一个系统所拥有的一个特定性质。复数比实数缺少了“共轭是其自身” 的代数性质；四元数比复数缺少了“乘法的交换律”；而八元数比四元数则缺少了“乘法的结合律”；十六元数呢，比起八元数，它保留了一个叫幂结合性的代数性质，却‬失去了“代数的交错性”，从而不再是合成代数。

高维数系的扩展让我们看到了越高的维度具有越多的自由度，但是更高的自由度也正损耗着运算赖以存在的基础。自由度似乎应该具有某种极限，否则宇宙也许会在物理世界的层次上崩溃。数学抽象世界只允许这四种数系“赋范可除”正是宇宙自律的表现，也许只有这些数系能表达我们所在的物理世界，而更高维度的代数只能表达不可观测的世界。

回过头来看一下，我们会发现人类对数的定义与理解都隐含了两个最基本的原则： 1. “离散性原则”（或者叫量子性），即我们认为1是一个基本单元，是一个基础量子，它是一个整体。尽管在数学抽象世界中它也是无限可分的，但是在人类的认识中始终认为：分到最后还是有一系列更细微的单元1，因为只有在这个基础上，数才是可数的。 2. “平均性原则”，即我们总认为一个数的下一个一定是增加单元量的，比如1后面是2，2后面是3，3后面是4，依次类推，直至无限。不管分数、小数、无理数还是超越数，总是由无数越分越细的单元量组成，这些单元量在同一层次中总是平均分布的，这些层次就是所谓进制。 当第一种原则被打破的时候，我们就有了微积分，微积分体现的是一种连续变化的运算思想，它把无限可分的离散变化过程，重新建立起整体的连续，开创了数学发展史上的革命。那么有没有可能打破第二条原则实现数学上新的突破呢？我们可以看到平均性原则造成的结果是进制的确定性，即不论我们采取什么进制，我们总能看到两个不同区间的结构是相同的，这种方式与宇宙的随机性及不确定性是矛盾的，使用这种方式不可能进行不确定性计算，它无法很好的表达不确定的量。我们是否可以通过引入概率，发展出一种本质不同的数集，我们可以这样构造新的自然数集，“基本单元”我们可以表示为一个不确定的随机量，它后面的数为这个“不确定随机量”增加以这个不确定量为总概率的随机量，依次类推。比如随机数m为第一个数，那么m为基本单元，基本单元具有这样的性质， 即自身数量的自身相乘与自身相等，数学表示为m^m=m，第二个数为m+mx1，第3个数为m+mx1+mx2，其中x1、x2...xn为0~m之间的随机数，如果x1=x2=x3=…xn=m=1，则生成自然数集。可以看到，这种数系是比自然数更基本的数系。也许使用它我们就能更准确的描述不确定的量，对它的研究是不是能有一些不寻常的发现，是不是能揭示出我们以前对概率的理解其实是建立在“平均律”根深蒂固的影响之中呢？在这样的数系中，传统概率的正态分布、幂律及齐普夫定律的曲线会不会变得平直？是不是因为数的平均化才使得概率分布呈现出曲线呢？在此基础上，我们甚至可以建立非整数的随机进制，那么有没有可能存在无理数或超越数进制的数？这样的数描述的抽象世界又将是什么样子呢？相信有一天人类能够解开这个谜。

我们再来谈谈素数，素数是非常特殊的一类数，它们是构成整个自然数列的基础，它的数学定义是“在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其它自然数整除的数”。换句话说，只有两个正因数（1和自己）的自然数即为素数。一个更浅显易懂的理解是：“在不破坏苹果的前提下，要想将一个拥有素数个数的苹果堆分成相等的n份的话，每堆里面就只能有1个苹果”。从性质上来说1也应该算一个素数，因为它的正因数也只有1和它自身，只不过它自身就是1罢了。 素数分布一直是数学界一个棘手的问题，素数就好像生长在自然数列中的一堆乱草，虽然逐渐稀疏，直到无限，但似乎没有什么规律可言。关于素数分布最著名的定理莫过于家喻户晓的歌德巴赫猜想了，它是这样描述的：“任何一个大于2的偶数都是两个素数之和”，意思就是说：“假设有一个任意数量的苹果堆，在不破坏苹果的前提下，只要能把它平分成2个数量一样的苹果堆，就必然能把它分成2个拥有素数个数的苹果堆”。歌德巴赫猜想一直到现在也没有得到完整的证明，目前为止最接近的证明是中国数学家陈景润先生给出的，从此以后就步履维艰。现在我们知道，“歌德巴赫猜想”等价于“素数对称定律”，即“对于任何大于3的正整数m，都至少有一小于m的正整数n存在，使m+n、m-n皆为素数”，简单的说就是：“在任何一个整数前后相同的距离上，总有这么一前一后两个数是素数”。这个定律展现了素数分布的内禀对称性，这种对称是一种结构对称，它贯穿整个素数系统。今天，数学家知道素数的分布与黎曼猜想息息相关，在调和分析的意义下，黎曼ζ函数的零点可视为素数分布的谐波。

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