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兰彻斯特方程(兰彻斯特方程)
在线,斯特,英雄兰彻斯特方程(兰彻斯特方程)
发布时间:2016-12-08加入收藏来源:互联网点击:
“英雄联盟”对战地图
下面基于兰彻斯特方程对“英雄联盟”游戏中的“团战”进行分析,为简化模型,忽略某一方5名“英雄”之间的个体差异,认为每个“英雄”均代表了该方玩家的平均水平。在比赛中,团战往往在地图视野明亮的地方开展,双方均可以看到敌方单位的动向,并可以及时将火力从已摧毁的敌方单位身上转化到尚未摧毁的敌方单位上,因此,游戏中的“团战”显然更接近与兰彻斯特平方率模型。在某一次“团战”中,若甲乙双方投入的兵力数量不等,在此种条件下,根据方程(1),通过分析兰彻斯特平方率模型的相轨线[4],可以得到乙方获胜的条件为:
根据(3)式,若在游戏的某次“团战”中,乙方由于种种原因仅仅有4名“英雄”参战,而甲方有5名,则此y0/x0=0.8,乙方若想取胜,必须满足的条件a1.5625b。
也就是说,此时乙方每个英雄在单位时间内的作战效能要达到甲方的1.5625倍,这是一个很大的差距,需要乙方每名玩家得到巨大的装备优势和娴熟的操作熟练度的情况下才有可能完成。
在实际游戏对战中,经常会遇到某方有一名玩家掉线的情况,在该种情况下,通过数学模型分析可知,另外4名玩家将很难取得比赛的胜利。此外,上述分析还说明了在某方装备和操作技术落后的情况下,5名玩家采取“抱团”的方式往往更容易取得对战的优势。
2.2 多元兰彻斯特方程在多人在线竞技游戏对战模型中的应用
2.2.1 多元兰彻斯特模型
本文在2.1的讨论中忽略了各方5名“英雄”之间的个体差异,该假设在分析一般的多人在线竞技游戏时显得比较粗糙。由于一般情况下,各方选定的不同角色在对战时有着不同的特和分工,因此,各个“英雄”之间的个体差异必须考虑。
为解决上述问题,可以将游戏双方的10名“英雄”分别看成10个作战单位,其中本方的5名“英雄”之间为协同作战关系。紫方的5个作战单位分别表示P1,P2,P3,P4,P5,作战效能分别a1,a2,a3, a4,a5,蓝方5个作战单位分别表示为B1,B2,B3, B4,B5,作战效能分别为β1,β2,β3,β4,β5,,虑到每个作战单位并不是平均攻击每个敌方目标,也不是只攻击某一个敌方目标,因此,可以假定蓝方的第 j 个“英雄”对紫方第i个“英雄”的攻击力分配系数为Φji ,紫方第 i 个“英雄”对蓝方第 j 个“英雄”的攻击力分配系数为φij。
基于以上假设和定义,可以建立多元兰彻斯特方程[6]为:
其中,Pi 可以代表紫色方第 i 个“英雄”的血量,当血量降为0时,该“英雄”被击杀。同理 Bj 表示蓝色方第 j 个英雄的血量。通过多元兰彻斯特方程,更科学地分析多人在线竞技游戏中各个作战单位的相互关系,从而建立更加精确的模型。
2.2.2 基于协同配合的多元兰彻斯特方程在多人在线竞技游戏中的应用
在多人在线竞技游戏比赛中,各方的不同作战单位之间属于协同配合关系,由于在协同作战的过程中,己方可以通过相互配合消耗对方的作战效能系数,由此产生的己方损耗的减少可以等价为己方血量的增加[7]。因此,可以将协同配合的这部分作用以加和的形式体现在多元兰彻斯特方程中,建立反映协同配合效应的多元兰彻斯特方程为:
在上式中 bzj ,Pki 分别表示紫方和蓝方各“英雄”间的协同配合系数,该系数越高,反映了队伍中不同玩家之间的配合娴熟程度。由该方程可以看出,在多人在线竞技游戏中,玩家之间的相互配合对比赛的胜利起到了非常重要的作用。
2.2.3 模型参数确定方法的初步探讨
以上讨论了考虑协同配合的多元兰彻斯特方程,并将其应用到了多人在线竞技游戏“英雄联盟”中,建立了较为完备的数学模型。但是,该模型中含有多个未知参数,而对于不同“英雄”和不同的游戏对局,这些参数的取值将会不同。截止2015年10月1日,“英雄联盟”已开发出126个“英雄”角色,这些“英雄”具备不同的特和技能,需要考虑不同“英雄”之间协同配合的组合数。由于每局比赛每方需要选择5名不同“英雄”,因此任一方都将会产生126!/121!种不同选取组合,要准确确定每种组合之间的参数数值是很困难的,在实际应用中也没有必要。针对多人在线竞技游戏中常见的对局组合和场景,本文对一种比较简化的游戏对战情形进行具体的参数探讨。
“英雄联盟”游戏中的5名英雄一般可分为五类角色,分别是上单、打野、中单、ADC和辅助,其中每类角色都对应着若干相对固定的英雄选择。为简单起见,本文考虑一次双方分别仅有两个“英雄”参与的团战:假定某次团战中,对战双方分别仅有ADC和辅助参与,其他游戏角色相距较远且不对团战结果产生影响。在“英雄联盟”游戏中,ADC的作用相当于火力输出核心,射程远且对敌方单位造成的伤害高,但由于自身的血量较少,容易被对方击杀;辅助的作用则主要是保护ADC不被敌方单位击杀和控制游戏视野,其自身攻击力较低但血量相对较高,且一般拥有控制技能。
设方程(5)中的 P1,P2 分别表示紫方ADC和辅助,B1 ,B2分别表示蓝方ADC和辅助。在实际的游戏对战中,作战效能系数可以认为是单位时间内一方“英雄”单位血量对另一方“英雄”造成的伤害值,该值的大小与“英雄”的攻击力大小和攻击速度都有关系。从(5)式中可以看出,单位时间内一方ADC对敌方“英雄”造成的伤害与该ADC的血量成正比,这一假定看似并不科学,但是考虑到实际对战情况中,若一方ADC血量降低,则该ADC必将十分注意自我保护并谨慎输出伤害,因此一定会影响其攻击力,所以,(5)式中体现出的单位时间内一方ADC造成的伤害与其血量成正比的假设是比较合理的。通过查询相关“英雄”的基本数据,便可以基于上述分析可以确定相应的参数值。
3.多人在线竞技游戏对战模型的系统动力学建模与仿真
系统动力学(System dynamics,SD)最早于1956年由美国麻省理工学院的福瑞斯特(J.W.Forrester)教授为解决生产管理和库存管理等问题而建立,最初称为工业动态学。经过几十年的发展,该学科已发展成为一门综合自然科学和社会科学的重要横向学科,有着广泛的应用[8]。系统动力学方法可以对系统的内部机制进行清晰地反映,并且可以在小数据条件下进行动态仿真,从而完成具体复杂系统问题的求解[9]。本文中基于多元兰彻斯特方程建立了多人在线竞技游戏对战模型,该模型中涉及到多个单位之间的相互影响,且两两之间的关系使用微分方程进行描述。因此,若采用传统解析解法进行分析求解会十分复杂,且所得结果并不直观。采用系统动力学软件对游戏对战模型进行数值仿真,可以更为形象地对结果进行展现。
常见的系统动力学仿真软件有Vensim、DYNAMO、STELLA等,其中,美国Ventana系统公司开发的Vensim软件具有界面友好、功能强大且操作相对简单等特点[10],因此本文采用该软件进行游戏对局的模拟仿真。
3.1 多人在线竞技游戏实例模拟与分析
在2.2.2和2.2.3中基于多元兰彻斯特方程分别进行了模型建立与参数估计,在进行模拟和仿真时不妨仍讨论一种较为简单的情形,即2.2.3中描述的双方分别仅有两名“英雄”参与的团战。此种情况下,游戏对战模型可表示为:
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