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贝特朗悖论(贝特朗悖论之争的终结)

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发布时间：2020-12-06加入收藏来源：互联网点击：

很多朋友想了解关于贝特朗悖论的一些资料信息，下面是小编整理的与贝特朗悖论相关的内容分享给大家，一起来看看吧。

别相信直觉

要相信科学

除了与几何概型有关的贝特朗悖论，贝特朗于1889年还提出了另一个贝特朗盒子悖论，这个悖论有一个著名的现代版本，实际上不算是“悖论”，因为它没有逻辑矛盾。

但它是一个与博弈论相关的有趣的数学游戏。

首先写在这儿让诸位娱乐一下。

三门问题

这个问题有好几个等效版本，最早一版的日期可追溯到19世纪的贝特朗。

该问题在数学本质上也等同于马丁·加德纳1959年提出的“三囚犯问题”【1】。

不过这些老版本长时间都默默无闻，只是到了100多年之后的1990年左右，却热门了一阵子，在公众中引起热烈的讨论。

其原因要归功于美国一个著名的，从上世纪80年代一直延续至今的电视游戏节目Let's Make a Deal。

由此例也足以可见现代媒体在公众中普及科学知识之威力。

当年的节目主持人蒙特霍尔（MontyHall）善于与参赛者打心理战，经常突如其来地变换游戏规则，给参赛人和观众都来个猝不及防。

既使得观众们困惑不已，又迫使参赛者“脑筋急转弯”，三门问题及各种变通版本便是他经常使用的法宝。

后来有人便将此游戏以主持人的名字命名，也称之为蒙特霍尔问题【2】。

在三扇关闭了的门后面，分别藏着汽车和两只山羊。

如果参赛者选中了后面有汽车的那扇门，便能赢得该汽车作为奖品。

显而易见，这种情况下，参赛者赢得汽车的概率是1/3。

图1：三门问题

不过，主持人有一次稍微将游戏规则改变了一点点。

当参赛者选择了一扇门但尚未打开之际，知道门后情形的主持人说：

“等等，我现在给你第二次机会。

首先，我将打开你没有选择的两扇门中有山羊的一扇，你可以看到门内的山羊。

然后，你有两种可能：改变你原来的选择（交换），或者保留原来的选择（不交换）。”

主持人的意思是说：在参赛者选择之后，他打开一扇有山羊的门，留下一扇未开之门，让参赛者决定要不要将原来的选择与剩下的未开之门“交换”？

要不要交换？我们不从“碰运气”而是从“概率”的角度来思考这个问题。

如果不交换，保持原状的话，得汽车的概率是1/3。

如果交换的话，是否能增加抽到汽车的概率呢？

答案是会。

转换选择（交换）可以增加参赛者的机会，如果参赛者同意“换门”，他赢得汽车的概率从1/3增加到2/3。

让我们来分析一下整个游戏过程中，由于参赛者的不同选择而产生的各种具体情况，以及在这些情况下选择“交换”后的结果。

参赛者指定3道门中的一道，有三种可能的情况，每种选择的几率相等（1/3），见图2中的a、b、c:

（a）参赛者挑选有汽车的第1道门，主持人挑两头羊的任何一头，开门。交换将失败。

（b）参赛者挑选有羊的第2道门，主持人打开第3道门。交换将赢得汽车。

（c）参赛者挑选有羊的第3道门，主持人打开第2道门。交换将赢得汽车。

图2：参赛者“同意转换”得到汽车的概率变成2/3。

在后两种情况，参赛者均可利用转换选择而赢得汽车，只有第一种情况将使得参赛者因转换选择而倒霉。

参赛者的转换选择，使得三种情况中的两种赢，一种输。

所以选择“交换”，将赢的概率增加到2/3。

也可以换一种思维方式来理解这个问题。

因为3道门中2道是羊，1道是汽车。

所以参赛者最初选到汽车的概率是1/3，选到羊的概率是2/3。

如果参赛者先选中汽车，换后一定输；如果先选中羊，换后一定赢。

因此选择“交换”而赢的概率，就是开始选择羊的概率为2/3。

也许三门问题的解释仍然有些使人困惑之处。

但如果将门的数目增加到10道门（主持人开启8道有“羊”的门，留下1扇），100道门（主持人开启98道有“羊”的门，留下1扇），甚至1000道门（主持人开启998道有“羊”的门，留下1扇）。

这些情况下，参赛者选择“交换”使概率增加的结论便显而易见了。

例如，图3显示的是10道门的情形。

图3：十门问题

如果门的数目增加到10，其中9道门中是羊，1道是汽车。

参赛者开始也选中3号门，但3号门是汽车的概率只有1/10。

然后，主持人开启了8道有羊的门，剩下2号门以及参赛者选中的3号，并问参赛者是否要“交换”？

这次参赛者的脑袋比较清醒：3号门是汽车的可能是1/10，剩下的9/10的可能都在2号门，交换使得概率增大9倍，当然要换，傻子才不换！

其实说“傻子才不换”，是有些不公平的。

我们来想想看所谓的“贝叶斯派”会怎么说这个问题？

三门问题存在一个客观的概率分布（举10门为例）。

“有”汽车的概率分布情况：有车之门概率为1，其余9门概率为0。

不过这个客观概率只有上帝（主持人）知道，外面的人只能凭主观猜想。

他们所谓的概率只是他们根据已知的信息进行猜测的主观概率。

这儿有两种基本的猜测方法（最开始的第一次，两种方法都使用概率均分，每个门的概率均为1/10）：

1. （主观地）认为选中那道门的概率不再改变，永远=1/10，其余的9/10在其它门中均分。

因此，后来，每当主持人打开1道有羊的门，其余的门的概率变化（增加）。

但第一次选定之门概率不变（1/10）。

因此参赛者认为“要交换”！

2. （主观地）认为选中那道门的概率与其它门的概率同样如下变化：1/10，1/9，……，1/2。

因此，后来两道门的概率均为1/2，换不换无所谓！

笔者认为这两种都是他们各自的主观概率，那些概率值并不是客观存在，而是两个人的主观判定。

两种方法最后都不会得到客观概率，除非再打开一道门。

本福特定律

法蘭克·本福特（FrankBenford, 1883–1948）本来是一个美国电气工程师，也是一名物理学家，在美国通用电气公司（GE）实验室里工作多年直到退休。

这位工程师在50多岁的时候，却迷上了一个与概率有关的课题。

课题得到的结论便是现在我们所说的“本福特定律”。

事实上，本福特定律的最早发现者并不是本福特，而是美国天文学家西蒙·纽康。

纽康于1877年成为美国航海天文历编制局局长，并组织同行们重新计算所有主要的天文常数。

繁杂的天文计算经常需要用到对数表，但那个时代没有互联网，没有阿里云，对数表被印成书本，存于图书馆。

细心的纽康发现一个奇怪的现象：对数表中包含以1开头的数的那几页比其他页破烂得多，似乎表明计算所用的数值中，首位数是1的概率更高。

因此他在1881年发表了一篇文章提到并分析了这个现象【3】。

但没有引起人们的注意，直到57年之后的1938年，本福特又重新发现这个现象。

说来令人奇怪，科学定律的发现有时候来自于一些毫不起眼，小得不能再小的现象。

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