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在数学中，没有长度的点可以组成有长度的线段，这是否包涵矛盾？

线段,长度,定义在数学中，没有长度的点可以组成有长度的线段，这是否包涵矛盾？

发布时间：2016-12-08加入收藏来源：互联网点击：

在数学中，没有长度的点可以组成有长度的线段，这是否包涵矛盾？

回答于 2019-09-11 08:43:50

回答于 2019-09-11 08:43:50

在客观现实中，就不存在数学概念的点。不举线段点的例子，举一个三维的例子——奇点，说它比原子还小，但是再小也是有体积的。

数学中说“任何一条线段，无论它有多短，都是由无穷个点所组成的”，这句话，被提问题的老师理解错了，或者说这句话本身就不严格。应该这样理解或纠正这句话：1、任何一条线段中，点是客观存在的，它的客观意义在于把一条线段再分成二段。2、一条线段中，若有无穷个点，也是这无穷个点把线段分成无穷份（无穷大加一还是无穷大）。3、无穷个点把一条线段分成无穷份后，不是无穷个点之和等于这条线段的长度，而是所分成的无穷个小线段的和。（首）

回答于 2019-09-11 08:43:50

数学的点和线段不矛盾

♦数学的点

数学的点，任何定义都系无处着力而无效。它是无法被定义的。定义它，会陷入重复定义、反逻辑定义深渊。点相当于原始概念，具有原始概念性质。

科学系统对概念总要下定义，也定会用些已知概念来定义新概念，但概念有限。又由第二条规则可知，下定义必须遵循科学规律，不能恶性循环，总有概念不能引用别的概念来定义，这就叫科学体系中的原始概念。

♦6G世界由信道蓝光点联线成片

定义平行四边形为两组对边分别平行的四边形，必须先对四边形、平行以及对边进行定义。定义四边形时，应先对多边形及边进行定义，又必须先定义折线，故必须先对点和直线下定义。

但一般初等几何中，点和直线都无法再用已被定义过的概念进行定义，它们都是原始概念。在数学中，点、直线、平面、集合，空间、数、量等都是原始概念。其中有些还是通过公理来直接描述的，虽然有些概念在中学课本中也有解释，但这种解释不算定义。

♦水墨画晕点染

所以要看如何定义点。如果以宇宙为基地，那么地球就是一个浮尘那么微观的点，但是地球平均半径6500公里，1.3万公里大小恰如一粒纳米浮尘，这就是宇宙基地的点的定义。同理，量子相对分子原子而粒子点，蚂蚁相对人而粒子点，人相对地球而粒子点。

所以客观实在的点，是有长度的，而且还可大可小，但抽象数学形而上的点，却无长度，但理论上又规定无数的点，可以构成有长度量的线段和直线。所以你是怎么看？数学抽象世界真能囊括客观存在的现实吗？

回答于 2019-09-11 08:43:50

（小石头尝试着回答这个问题）

回答：这并不矛盾！ 下面是详细分析。

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在几何中，任何直线的性质都是一样的。于是，任取一根直线，为了区分其上的点，我们将每一个点和一个实数对应起来，这样就形成了（实）数轴。进而，自然而然，数轴上的一个线段，就对应 一个实数区间。

如此以来，题主问题里，所谓没有长度的点，翻译成数学语言就是：

在数轴中任取一个点 x 对其长度进行测量，得到的长度 为 0；

所谓 有长度的线段，翻译成数学语言就是：

在数轴中任取一个区间 [a, b] 对其长度进行测量，得到的长度不为零；

以上的关键，是我们有一个可以测量 点 和 区间 长度 的 工具，记为 μ。一个点 x 其实是一种特殊的区间 [x, x]，于是 μ 其实只要可以测量 区间的长度就行，即，任意给定 数轴上的 一个 区间 [a, b]，通过 μ 会可以得到 一个 长度，显然 μ 是一个以为区间为参数的 函数，可以定义如下：

μ([a, b]) = b - a

对于，任意一个点 x，有：

μ(x) = μ([x, x]) = x - x = 0

这符合一个点长度为 0 的要求。

另外，只有稍微对 μ 进行升级，我们也可以对 多段 独立的区间进行 测量：

μ([a₁, b₁] + [a₂, b₂] + ... ) = b₁ - a₁ + b₂ - a₂ + ...


其中 区间 [a₁, b₁]， [a₂, d₂]， ... 两两不相交。 升级后的 μ 称为 测度。

接下来，仔细观察 测度 μ ，就会发现它有两个特性：

μ 的值 总是 大于等于 0；


对于任意一列 相互独立的 区间 [a₁, b₁]， [a₂, d₂]， ...，有：μ([a₁, b₁] + [a₂, b₂] + ...) = b₁ - a₁ + b₂ - a₂ + ... = μ([a₁, b₁]) + μ([a₂, b₂]) + ...

实际上，只要符合上面 特性的 函数 都可以称为 测度。测度不仅仅是测量 区间（线段）长度，也可以是 测量 图形的面积、几何体的体积、物体的质量、 等。

测度的第一个特性称为 非负性，和问题关系不大，而 第二个特性称为 可列可加性，是问题的关键。

所谓“可列可加性”翻译成白话就是：对于一列的相互独立的区间，它们加起来的总长度等于各区间长度之和。

现实中，这是我们再熟悉不过的常识了：

将多个线段接起来，总线段的长度一定是各个线段长度之和；

将水和盐混合成盐水，盐水的质量 一定 是 水的 质量 加 盐的 质量；

积木搭建的建筑物的总体积，一定是所有积木体积之和；

也正因为题主有了这种常识，所以才提出本问题。问题翻译成数学语言为：设，非单点区间 [a, b] (a < b) 是由 点 a, x₁, x₂, ..., b 组成，即，

[a, b] = [a, a] + [x₁, x₁] + [x₂, x₂] + ... + [b, b] ①

于是，根据测度的可列可加性有：

μ([a, b]) = μ([a, a] + [x₁, x₁] + [x₂, x₂] + ... + [b, b]) = μ(a) + μ(x₁) + μ(x₂) + ... + μ(b) = 0 + 0 + ... +０ = 0

可以 根据测度的定义又有：

μ([a, b]) = b - a > 0

矛盾。

其实并不矛盾！这里的关键是 等式 ① 是不成立的。虽然 序列 a, x₁, x₂, ..., b 和 区间 [a, b] 都包括了 无穷多个点，但是 无穷多和无穷多 不一定一样。实际上， 一个区间 中包括的点 比一个序列 还多，多到无将这些点 排成一个列。由于 区间中的点 不能排成一列，于是 可列可加性 对于 区间中的点的组合 就无效了。

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